matrices
Páginas: 10 (2314 palabras)
Publicado: 7 de junio de 2014
Matrices
Definiciones básicas de matrices
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c 2007-2008
Contenido
1. Matrices
1.1. Matrices cuadradas
1.2. Matriz transpuesta .
1.3. Matriz identidad . .
1.4. Matriz diagonal . .
1.5. Matriz triángular .
1.6. Matrices binarias .
.
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2
3
4
4
5
5
6
2. Operaciones entre matrices
2.1.Suma entre matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
3. Matriz inversa
3.1. Obtención de matriz inversa por medio de Operaciones Elementales .. . . . . . . . . .
12
12
4. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
21
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Matrices
Definición 1 Una matriz real es una función A de [1, .., n] × [1, .., m], al conjunto de los números
reales R, y decimos que A tiene orden n × m
Una matriz A se representa con todos sus valores
columnas:
a11 a12
a21 a22
A= .
.
.
.
.
.
an1
an2
de manera usual como un arreglo de n filas y m
···
···
..
.
a1m
a2m
.
.
.
···
anm
También la podemos representar como A = (aij ), donde 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Ejemplos de matrices:
1. Ejemplo de una matriz 2 × 2: A =
a11
a21
a12
a22
Como función la matriz anterior se escribe A : [1, .., n] × [1, .., m] → R, donde:
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
→
→
→
→
a11
a12
a21
a22
1
1.1. Matrices cuadradas
3
a11
2. Ejemplo de unamatriz 3 × 3: A = a21
a31
a13
a23
a33
a12
a22
a32
Como función se escribe A : [1, .., 3] × [1, .., 3], donde:
(11)
(12)
(13)
(21)
(22)
(23)
(31)
(32)
(33)
a11
3. Ejemplo de una matriz 3 × 2: A = a21
a31
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a12
a22
a32
a11
a21
5. Ejemplo de una matriz 1 × 3: A =
a12
a22
a13
a23
a11
4. Ejemplo de una matriz 2 × 3: A =
a12
a13
a11
6. Ejemplo de una matriz 3 × 1: A = a21
a31
1.1. Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Éste conjunto de matrices suele escribirse como Mn . Las matrices cuadradas tienen propiedades particulares.
a11 a12 a13
A = a21 a22a23
a31 a32 a33
1.2. Matriz transpuesta
4
1.2. Matriz transpuesta
Dada una matriz A se define la matriz transpuesta AT (la transpuesta),como aquella que cambia las
filas por columnas, o las columnas por filas, es decir:
Si A = (aij ), entonces AT = (aji )
Para una matriz en M3 :
a11 a12 a13
a11
Si A = a21 a22 a23 , entonces AT = a12
a31 a32 a33
a13
a21
a22a23
a31
a32
a33
Ejemplo:
2
Si A = 1
−1
3
−2
0
1
2
7 , entonces AT = 3
1
5
1
−2
7
−1
0
5
Propiedades de la matriz transpuesta:
1. (AT )T = A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz.
2. (A + B)T = AT + B T , la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas.
3. (AB)T = B T AT , la transpuesta de un producto es...
Definiciones básicas de matrices
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c 2007-2008
Contenido
1. Matrices
1.1. Matrices cuadradas
1.2. Matriz transpuesta .
1.3. Matriz identidad . .
1.4. Matriz diagonal . .
1.5. Matriz triángular .
1.6. Matrices binarias .
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3
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4
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5
6
2. Operaciones entre matrices
2.1.Suma entre matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
9
3. Matriz inversa
3.1. Obtención de matriz inversa por medio de Operaciones Elementales .. . . . . . . . . .
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4. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
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Matrices
Definición 1 Una matriz real es una función A de [1, .., n] × [1, .., m], al conjunto de los números
reales R, y decimos que A tiene orden n × m
Una matriz A se representa con todos sus valores
columnas:
a11 a12
a21 a22
A= .
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de manera usual como un arreglo de n filas y m
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a1m
a2m
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También la podemos representar como A = (aij ), donde 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Ejemplos de matrices:
1. Ejemplo de una matriz 2 × 2: A =
a11
a21
a12
a22
Como función la matriz anterior se escribe A : [1, .., n] × [1, .., m] → R, donde:
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
→
→
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1.1. Matrices cuadradas
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a11
2. Ejemplo de unamatriz 3 × 3: A = a21
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a13
a23
a33
a12
a22
a32
Como función se escribe A : [1, .., 3] × [1, .., 3], donde:
(11)
(12)
(13)
(21)
(22)
(23)
(31)
(32)
(33)
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3. Ejemplo de una matriz 3 × 2: A = a21
a31
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5. Ejemplo de una matriz 1 × 3: A =
a12
a22
a13
a23
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4. Ejemplo de una matriz 2 × 3: A =
a12
a13
a11
6. Ejemplo de una matriz 3 × 1: A = a21
a31
1.1. Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas. Éste conjunto de matrices suele escribirse como Mn . Las matrices cuadradas tienen propiedades particulares.
a11 a12 a13
A = a21 a22a23
a31 a32 a33
1.2. Matriz transpuesta
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1.2. Matriz transpuesta
Dada una matriz A se define la matriz transpuesta AT (la transpuesta),como aquella que cambia las
filas por columnas, o las columnas por filas, es decir:
Si A = (aij ), entonces AT = (aji )
Para una matriz en M3 :
a11 a12 a13
a11
Si A = a21 a22 a23 , entonces AT = a12
a31 a32 a33
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Ejemplo:
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Si A = 1
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7 , entonces AT = 3
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Propiedades de la matriz transpuesta:
1. (AT )T = A, la transpuesta de una transpuesta es igual a la matriz.
2. (A + B)T = AT + B T , la transpuesta de una suma, es la suma de las transpuestas.
3. (AB)T = B T AT , la transpuesta de un producto es...
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