Matrices

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unidad 1
contenidos
1. Matrices 2. Tipos de matrices 3. Operaciones con matrices 4. Producto de matrices 5. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y antisimétrica 6. Matriz inversa 7. Rango de una matriz 8. Las matrices en la vida real

Matrices

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Número y forma son los conceptos básicos sobre los que se asientan las ramas más antiguas de las Matemáticas: la aritmética y lageometría. El desarrollo de los acontecimientos históricos hizo que los procedimientos propios de la aritmética diesen lugar a la creación de un lenguaje con símbolos y de una rama de las Matemáticas que llamamos álgebra. El álgebra, que fue cultivada y enriquecida desde tiempos antiguos (babilonios, egipcios y griegos), alcanzó una de sus cimas en el siglo XIX. Una de sus numerosas ramas, denominadaálgebra lineal, ofrece instrumentos de aplicación muy diversos. Entre las herramientas del álgebra lineal se encuentran las matrices. Este concepto fue introducido, hacia 1850, por el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814-1897) y su teoría desarrollada por Arthur Cayley (1821-1895) y William Rowan Hamilton (1805-1865). En la vida diaria nos encontramos con matrices en todas aquellassituaciones en las que aparecen gran cantidad de datos como en los paneles de horarios de aviones, horarios de trenes, autobuses, cotizaciones de la bolsa, cambio de divisas, etc. Esto es debido a que la notación matricial nos permite una mejor visualización de los datos. Las matrices se utilizan en diversos ámbitos del saber: Comercio, Economía, Sociología, Informática, Física, Geografía, etc.cuestiones iniciales
1. Expresa en notación matricial y resuelve por el método de Gauss los sistemas de ecuaciones siguientes: ⎧ x – 3y + 4z = 9 ⎧2x + 3 y = 28 ⎪ ⎪ ⎪ a) ⎨ b) ⎨3 x + 5 y – z = 17 ⎪ ⎪ ⎩3 x – 2 y = 3 ⎪ ⎩ – 2x + 6 y + z = 18 2. Si se cumple que PQ = P y QP = Q, prueba que P 2 = P. 3. El grafo siguiente nos muestra las relaciones que se establecen en un grupo de ocho personas. Construyeuna tabla que indique las relaciones anteriores, indicando con 1 la existencia de relación entre dos personas y con 0 la no existencia de relación.

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Unidad 1 Y

1. Matrices
Cuadrados mágicos

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Una disposición de números en un cuadro que, al ser sumados en filas, columnas y diagonales, dan el mismo resultado se llama cuadrado mágico (matriz mágica). El primercuadrado mágico del que se tiene conocimiento es el que figura arriba. Grandes matemáticos como Euler (1707-1783) y Cayley (1821-1895) dedicaron parte de su tiempo a estudiarlos.

El concepto de matriz como cuadro o tabla de números es una de las herramientas con mayor número de aplicaciones. Así, encontramos matrices en Sociología (matriz asociada a un gráfico), en Economía (matriz de input-output,matriz de un juego), Demografía (matriz de evolución de la población) y en otros ámbitos. La idea intuitiva de matriz de números no presenta dificultad: una matriz es un cuadro o tabla de números ordenados. • Se llama matriz de dimensión m × n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: ⎛ a11 ⎜a ⎜ 21 A = ⎜ a 31 ⎜ ... ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a 32 ... a m2a13 a 23 a 33 ... am3 ... ... ... . ... ... a1n ⎞ a2n ⎟ ⎟ a 3n ⎟ ... ⎟ ⎟ a mn ⎟ ⎠

La matriz A se puede designar también como: A = (aij) donde: i = 1, 2, ... m j = 1, 2, ... n

• Un elemento genérico de la matriz se designa por aij, donde el subíndice i representa el número de fila que ocupa el elemento y el subíndice j el número de columna.

Conjuntos de matrices
• El conjunto de matricesde dimensión m × n se denota por: Mm × n • El conjunto de matrices de dimensión n × n, también llamadas de orden n, se denota por: Mn Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos: — la diagonal principal formada por los elementos aii ; — la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma aij que cumplen i + j = n + 1. a11 a A = 21 a31 a41 a12 a22 a32...