Matrices

 8.10.11 MATRIZ INVERSA
Si A є , se dice que A es inversible si existe una matriz B tal que AB= I, ó BA=I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota, B=. Del misnmo modo, la matriz A es la inversa de B y se escribe, A=.
PROPIEDADES Si A y B son matrices cuadradas de orden n, inversibles, entonces se cumplen las siguientes propiedades.
PI.1: A= I PI.4:
PI.2: PI.5:
PI.3: Si AB = BA = I

Ejemplo 20 Demostrar la propiedad PI.4:
Demostración. Por la definición de matriz inversa debemos probar que
y En efecto:(M.1)
(PI.1)(M.G)
(PI.1)
(M.1)
(PI.1)(M.G)
(PI.1)
En consecuencia, de a) y b) se concluye que:
(A

Ejemplo 21 Demostrar la propiedad PI.5:
Demostración. En efecto, por la propiedad PI.1: A = I y por T.5:= = I

Multiplicando ambos extremos por se tiene

I


Ejemplo 22 Demostrar que la inversa de una matriz, si existe, es única.
Demostración. En efecto, supongamos que existe dos matrices B y C, tales que :y siendo B ≠ C
Entonces por definición: AB = I =BA
AC = I = CA
De estas dos igualdades se deduce que: AB = AC esto es, AB – AC = A (B – C) =
Dado que existe , entonces A ≠, por lo que: B – C = B = C
Lo que contradice la hipótesis. En consecuencia:
La inversa de una matriz esúnica
Ejemplo 23
Si M = I – X con X = (nx1, simplificar al máximo la suma: S = I + M +M2 + M3 +………… + Mp, donde p Z+
Solución. M2 = I – X (X1X)-1Xt I – X (Xt X)-1Xt
= I – X (Xt X)-1 Xt – X (Xt X)-1Xt + X (Xt X)-1Xt X (XtX)-1Xt
= M - X (MtX)-1 + X (XtX)-1Xt X(XtX)-1Xt
= M – X (Xt X)-1 Xt + X (Xt X)-1(XtX) (XtX)-1Xt
= M – X (Xt X)-1 Xt + X I (Xt X)-1 Xt
= M – X (Xt X)-1 Xt + X (Xt X)-1Xt
Luego: M2 = M M3= MM2 = M (M) = M2 =M
M4 =M2M2 = (M) (M) = M2 = M Mp = M
S = I +M+M+M+…………. + M = I +pM

8.10.12 INVERSA DE UNA MATRIZ TRIANGULAR
Si A es una matriz triangular inferior y X su inversa, como por definición AX =I, Entonces
=
Por la multiplicación e igualdad de matrices, el producto de la primera fila de A por la primera columna de X es 1, esto es
(a11, 0, 0, 0……., 0) · (x11, x21, x31,……, xn1) = 1 x11 = a11-1
Ahora efectuando el producto interno de la primera...