matrices

Capítulo 4

Matrices, Determinantes y Sistemas
de Ecuaciones Lineales
4.1. Matrices
Definición 4.1. Una matriz real de orden m × n es un arreglo rectangular de mn números
reales dispuestos en m filas y n columnas.
Ejemplo 4.1. El arreglo rectangular




−1
2 9
 5
4 6 


 −8 −5 7 
1
1 2
es una matriz de orden 4 × 3 que llamaremos matriz A. La matriz A tiene 4 filas(líneas
horizontales) y 3 columnas (líneas verticales).
Observación 4.2. Se escribe Am×n = (aij ) para indicar que aij es el valor de la entrada de
la matriz A en la intersección de la fila i con la columna j.
Ejemplo 4.2. Si A2×3 = (aij ) donde aij = i − j, queremos expresar por extensión a la matriz
A. Para esto observamos que
Fila (i)
1
1
1
2
2
2

(

entonces

A=

Columna (j)
12
3
1
2
3

Entrada (ij)
a11 = 1 − 1 = 0
a12 = 1 − 2 = −1
a13 = 1 − 3 = −2
a21 = 2 − 1 = 1
a22 = 2 − 2 = 0
a23 = 2 − 3 = −1

)

a11 a12 a13
a21 a22 a23

(
=

0 −1 −2
1 0 −1

)

El conjunto de las matrices reales de orden m × n se representa por Rm×n ,

Rm×n = {Am×n = (aij ) : aij ∈ R para i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n} .
Definición 4.3. Sea A en Rm×n . Decimosque
1

1. A es una vector (o matriz) columna si n = 1.
2. A es una vector (o matriz) fila si m = 1.
3. A es una matriz cuadrada de orden n si m = n.
Definición 4.4. Sea An = (aij ) en Rn×n . La diagonal de A es la matriz fila
[
]
diag (A) = a11 a22 · · · ann .
Definición 4.5. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de orden n.
1. A se llama matriz diagonal si aij = 0 cada vez que i ̸= j.2. Si A es una matriz diagonal y
diag (A) =

[

1 1 ···

1

]

,

se denomina la matriz identidad de orden n, y se representa por In .

4.2. Igualdad y operaciones con matrices
Definición 4.6. Si A = (aij ) y B = (bij ) son matrices en Rm×n , entonces

A = B ⇔ aij = bij para todo i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n.
Definición 4.7. Si A = (aij ) y B = (bij ) son matrices en Rm×ny α es un número real, la
suma de A y B y el producto de α por A son las matrices

A + B = (sij )

y

αA = (pij )

y

pij = αaij .

donde para todo i = 1, · · · , m y j = 1, · · · , n

sij = aij + bij





2 −4
2 3
Ejemplo 4.3. Calcular 2A + 3B si A =  1 2  y B =  0 2 .
3 1
4 5
Solución. Tenemos


 
 
10 1
6 9
4 −8
2A + 3B =  2 4  +  0 6  =  2 10 .
18 17
12 15
6 2


Teorema 4.8.
1. ∀A, B ∈ Rm×n : A + B ∈ Rm×n .
2. ∀A, B ∈ Rm×n : A + B = B + A.
3. ∀A, B, C ∈ Rm×n : A + (B + C) = (A + B) + C.
4. ∃!Θ ∈ Rm×n , ∀A ∈ Rm×n : A + Θ = A.
La matriz Θ = (0) de Rm×n es llamada matriz cero.
2

5. ∀A ∈ Rm×n , ∃! (−A) ∈ Rm×n : A + (−A) = Θ.
La matriz −A = (−1) A es llamada opuesta de A.
6. ∀A ∈ Rm×n , ∀α ∈ R : αA ∈ Rn .
7. ∀A ∈ Rm×n, ∀α, β ∈ R : (α + β) A = αA + βA.
8. ∀A, B ∈ Rm×n , ∀α ∈ R : α (A + B) = αA + αB.
9. ∀A ∈ Rm×n , ∀α, β ∈ R : α (βA) = (αβ) A.
10. ∀A ∈ Rm×n : 1A = A.
Definición 4.9. El conjunto Rm×n con la igualdad de matrices, la suma de matrices y la
multiplicación de números reales or matrices, se llama espacio vectorial de las matrices
reales de orden m × n.
Proposición 4.10.
1. ∀α ∈ R : αΘ = Θ.
2.∀A ∈ Rm×n : 0A = Θ.
3. Propiedades de monotonía.

A = B ⇒ A + C = B + C ∧ αA = αB.
4. Propiedades de simplificación.

A + C = B + C ⇒ A = B.
αA = αB ∧ α ̸= 0 ⇒ A = B.
5. αA = Θ ⇒ α = 0 o A = Θ.
Definición 4.11. Para A = (aij ) y B = (bij ) matrices en Rm×n cualesquiera

A − B = A + (−B) = (aij − bij ) .
Ejemplo 4.4. Resolver el sistema

(
)
1 5


2X − 3Y =



4 2


=A )
(
−1 0


X−Y =



3 6



B

Solución. Multiplicando la segunda ecuación por 3 y restando miembro a miembro las
ecuaciones resultantes, obtenemos

X = 3B − A,
entonces, sustituyendo en la segunda ecuación,

Y = X − B = 2B − A.
Así,

(
X=3
(
Y=2

−1 0
3 6
−1 0
3 6

)

(
−

)

(
−

1 5
4 2
1 5
4 2
3

)

(
=

)

(
=

−4...