matrices

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Álgebra Lineal
Proyecto de Aula
Tema: Matrices

Ing. Leonardo Guerrero


Doménica Constante
Ingeniería Civil
Segundo “B”





Secuencia de Temas


1.  Definición de matriz
2.  Tipos de matrices
3.  Suma de matrices
4.  Producto de un número real por una matriz
5.  Producto de matrices
6.  Matriz inversa
7. Cálculo por GausJordan
8.  Rango de una matriz
9. Ejercicios

MATRICES

Matriz:
Es un conjunto de números ordenados en forma rectangular dispuestas en filas y en columnas. Se emplean corchetes para la notación y letras mayúsculas.

Elementos: son los números que forman la matriz. Los números colocados horizontalmente se denominan fila, se representan con ai. Los números colocados verticalmente se denominancolumnas, se representan con aj. De ahí que los elementos de una matriz son ai en donde i representa las filas y j las columnas.

Dimensión u Orden: Es el número de filas, representado por m, multiplicado por el número de columnas, representado por n.

Dimensión= m*n

Estructura de una matriz:
A= [ aij ] m*n

Tipos de Matrices:

Matriz Cuadradas: Tiene el mismo número de filas quecolumnas

A= 2 5 0
-1 4 7 Matriz Cuadrada de orden tres.
-3 2 1 3*3


Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada con unos (1) en la diagonal principal y ceros (0) en cualquier otra posición. Se denota por I.

I= 1 0 0
0 1 0 Para cualquier matriz A se cumple que A*I = I*A = A
0 0 1 3*3

Matriz Triangular: Es una matrizcuadrada que puede ser triangular superior o inferior, si todas las entradas bajo o sobre la diagonal principal son iguales a cero.

B= 1 2 5
0 3 -1 Matriz Triangular SUPERIOR.
0 0 3 3*3


C= -3 0 0
2 1 0 Matriz Triangular INFERIOR.
-5 4 6 3*3


Matriz Diagonal: Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales sonceros.

F= 2 0 0
0 1 0
0 0 3 3*3



Matriz Rectangular: Es una matriz que no tiene igual número de filas y columnas.

M= 1 2 3 4
5 6 7 8
9 -1 -2 -3 3*4

Matriz Vector: Es una matriz que tiene únicamente una fila o una columna.

A= -1 B= [ 1 2 3 4 5 ] 1*5
2 2*1


Matriz Nula: Es una matriz cuyaselementos son ceros.


A= 0 0 0
0 0 0 2*3


Matriz Transpuesta: La transpuesta de una matriz A, consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.


A= 1 2 5 AT= 1 3
3 -1 0 2*3 2 -1
5 0 3*2


Matriz Simétrica: Toda matriz cuadrada es simétrica silos elementos opuestos respecto a la diagonal principal son iguales, es decir:
AT=A


Matriz Antisimétrica: Toda matriz cuadrada es antisimétrica, si los elementos opuestos respecto a la diagonal principal son valores opuestos, es decir:
AT= -A




Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz regular:Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular: Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente: Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.

Matriz involutiva: Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.

Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que:
A · At = I.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices
Dadas dos matricesde la misma dimensión, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:
A + B = (aij + bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Ejemplo:
 


Propiedades de la suma de matrices

 1.  Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
 2.  Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
 3.  Elemento...