Matrices

Matrices
En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadasparciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

*A los números reales aij se les llama elementos de lamatriz. *El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna. *Las dimensiones de la matriz son m y n.

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matrizcon m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus Definición: Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y nverticales (columnas).

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Algunos tipos de matrices

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n. Ejemplo:

A=(a11 a12 ... a1n)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1. Ejemplo:

Matriz nula: Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0). Ejemplo:
 0 0 A =   0 0  ,  

 0 0 0   , ... B =     0 0 0 

Matriz Cuadra: Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. Una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundariaEjemplo:

 1 2 3    A =  4 5 6    7 8 9    

Diagonal principal: (1, 5, 9). Diagonal secundaria: (3, 5, 7).

La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann. La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.

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Matriz Diagonal Una matriz cuadrada se dice DIAGONAL si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:a11  0 A=   ...   0  0 a 22 .... 0 0   ... 0 0  .... ... ...   ... 0 a b,b   ... 0

a ij = 0 si i ≠ j

Ejemplo:

3 0 0 A= 0 6 0 0 0 2

En el ejemplo se puede observar que son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal (3, 6, 2).

Matriz Identidad o Unidad: Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son unos. Se designa comoI. Matriz cuadrada tal que aij = 1 ∀ i = j, aij = 0 ∀ i ≠ j, es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.
 1 0 ...  0 1 ... I=  ... .... ....   0 0 ... 0 0 0  ... ...  0 1 0

 1 0 I 2=    0 1

 ,  

 1 0 0    I 3=  0 1 0    0 0 1    

Matriz escalar: Es toda matriz cuadradaen la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:

 5 2 3    A =  4 5 6    7 8 5    
Matriz Traspuesta: Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: la primera fila de A es la primera columna de At, la...