Matriz resumen

MATRICES

Intervalo Natural Inicial:
[pic] = { 1 ; 2 ; 3; 4; .....; n }, es el conjunto formado por los n primeros números naturales.
Tomemos dos intervalos naturales iniciales [pic] y calculemos el producto cartesiano de dichos conjuntos:
[pic]
Definición:
Se llama matriz “ px q “ con elementos en K a toda función cuyo dominio es el producto cartesiano de dos intervalos naturales iniciales y codominio un cuerpo ( en nuestro caso los reales ).

f : [pic] [pic] K / f ( i ; j ) = [pic]

La matriz “ f ” queda caracterizada por el conjunto de las imágenes y se escribe como un cuadro de ( p. q ) elementos dispuestos enp filas y q columnas según el ordenamiento natural. Llamaremos A a la matriz cuyo elemento genérico es [pic].
A = [pic] forma explícita de la función

La imagen de ( i ; j ) es un número perteneciente a K que está ubicado en la fila i y en la columna j y se denota : [pic]
Tanto las filas como las columnas se llaman líneas.
También se denota a la matriz A con(([pic] )) o [[pic] ]
Con K [pic] se denota al conjunto de todas las matrices de p x q con elementos en K.

MATRIZ CUADRADA
Es toda matriz que tiene igual cantidad de filas que de columnas ( p = q ), es decir, los intervalos naturales iniciales son iguales. En dicho caso diremos que la matriz es de orden p
.
MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNAEs toda matriz que posee una sola columna ( p x 1 ).

MATRIZ FILA O VECTOR FILA
Es toda matriz que posee una sola fila ( 1 x q ).

IGUALDAD DE MATRICES

A = B [pic]

SUMA DE MATRICES

[pic] [pic]A +B [pic]/ A+B = [[pic]] + [[pic]] = [[pic]+[pic]]

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ -PRODUCTO EXTERNO

[pic]

ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES REALES ( R[pic]R ; . )

Demostraremos que ( R[pic]R ; . ) es un espacio vectorial
Siendo [pic] la suma usual de matrices
. el producto de un escalar por una matriz
La demostración se dará en clase.

FUNCIÓN TRASPOSICIÓN

[pic]

Propiedades de latrasposición:

P.1) La traspuesta de la traspuesta de una matriz es la misma matriz: [pic]

P.2) La traspuesta de la suma es igual a la suma de las traspuestas [pic]

P.3) La traspuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por la traspuestade la matriz [pic]

PRODUCTO DE MATRICES

Veamos primero el producto de una matriz fila por una matriz columna con igual cantidad de elementos
[pic]
A . B = [pic]
Definición de Producto de Matrices

[pic]
donde el elemento [pic]

Vemos que el elemento de la matriz C ubicado en la filai , columna j se obtiene como el producto de la matriz fila i de A por la matriz columna j de B.
El producto A.B esta definido si y sólo si la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B.
Podemos escribir el producto de la siguiente forma:
[pic]

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

[pic]Distributiva respecto de la suma:

[pic]

Elemento neutro para el producto de matrices cuadradas:

[pic]

Otra propiedad de la trasposición

P.4) La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas permutado...