Maximo comun divisor

Máximo común divisor
No debe confundirse con Mínimo común denominador.
En matemáticas, se define el máximo común divisor(MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto.
Índice
1 Precisiones
2 Cálculo del MCD
2.1 Por descomposición en factores primos
2.2 Usando el algoritmo de Euclides
2.3 Usando el mínimo común múltiplo
2.4 MCD de tres o más números
3Propiedades
3.1 Proposiciones
3.2 MCD como operación interna
4 Aplicaciones
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Precisiones
Si a y b son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b.1 Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, únicamente,como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.
Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:
1. d es divisor común de los números a y b y
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.
Ejemplo:
12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4,6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.2
Cálculo del MCD
Los tres métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
Por descomposición en factores primos
Artículo principal: Factorización de enteros
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factorescomunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.







El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factoresprimos de dos números cualquiera.
Usando el algoritmo de Euclides
Artículo principal: Algoritmo de Euclides
Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.
Ejemplo 1:
Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCDserá por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:


Ejemplo 2:
El MCD de 42 y 56 es 14. En efecto:

operando:

Usando el mínimo común múltiplo
El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de ay b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:

MCD de tres o más números
El máximo común divisor de tres o más números se puede definir usando recursivamente: .3 4
Propiedades
1. Si entonces
2. Si es un entero,
3. Si es un número primo, entonces o bien
4. Si , entonces
5. Si es un divisor común de y , entonces
6. Si , entonces
7. Si ,entonces:

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.
Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).
Proposiciones
1. Para cualquier par de números enteros a≠0,b≠0, existe un único mcd d ≥ 1.5
2. El m.c.d. de los números a y b puede ser representado en forma de combinación lineal de estos números.Esto es (a, b) = ax + by
3. Si dos números enteros son primos entre sí, i.e. su mcd = 1 o en otra notación (a,b) = 1, entonces cabe la representación ma + nb = 1 donde m y n son números enteros (Identidad de Bézout).
4. si a|bc y (a,b) = 1, será a|c. En otras...