MCD Y MCM

Máximo Común Divisor (MCD)
Se llama MCD de un conjunto de dos o más números
enteros positivos, al número que cumple dos condiciones:
*
*

•

Hallar MCM (120; 200)

Es divisor común de los números dados.
Es el mayor posible.

Ejemplo:
Sean los números 32 y 40
32 1; 2; 4; 8; 16; 32
40  1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40
Los divisores comunes son: 1; 2; 4; 8 de los cuales el
mayor es 8, entonces MCD (32;40) = 8
Mínimo común múltiplo (MCM)
Se llama MCM de un conjunto de dos o más números
enteros positivos, al número positivo que cumple dos
condiciones:
*
*

Es un múltiplo común de todos los números.
Es el menor posible.

Ejemplo:
Sean los números 12 y 8.
1212; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96;...
8  8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72;...

Ejemplo: Dado los números
120 = 23.3.5
200 = 23.52
MCD(120;200) = 23.5
Factores comunes elevados a su menor exponente.
MCM (120; 200) = 23.3.52
Todos los factores elevados a su mayor exponente.
Observación:
-

Si:
o

N=

o

N= b

1. Por descomposición simultánea

-

Si:

Ejemplos:

-

a
 N = MCM(a; b)

Determinación del MCD y MCM

o

N=

Hallar el MCD (360; 480)

360 - 480
180 - 240
90 - 120
45 - 60
15 - 20
3-4

Todos los factores:
3
2
MCM(120;200) = 2 .3.5
MCM (120; 200) = 600

2. Por descomposición canónica

Los múltiplos comunes son: 24; 48; 72;... de los cuales el
menor es 24, entonces MCM (12; 8) = 24

•

2
2
2
5
3
5

120 - 200
60 - 100
30 - 50
15 - 25
3-5
1-5
1-1

2
2
2
3
5

a

±r

o

N=b ±r

 N = MCM(a; b; c) ± r

o

Factores comunes:
3
MCD (360; 480) = 2 .3.5
MCD (360; 480) = 120

Sean dos números "A" y "B" (A
contiene a"B") entonces:
MCD (A; B) = B (el menor)
MCM (A; B) = A (el mayor)

N=
-

c

±r

Sean "A" y "B" dos números PESI, entonces:
MCD(A; B) = 1
MCM(A, B) = A.B

B), tal que: A = ("A"

3. Sólo para dos números, se cumple: "El producto del MCD y
MCM de dos números es igual al producto de dichos
números", es decir:
MCD (A ; B) . MCM (A; B) = A.B

*

Si a dos o más números enteros se les multiplica (odivide)
por una misma cantidad sus MCD y MCM, quedarán
también multiplicados (o divididos) por dicha cantidad.
Es decir:
Sean "A"; "B" y "C" números enteros positivos, tal que:
MCD (A; B; C) = d
MCM (A; B; C) = m

Por propiedad
(2A) (3B) = 125 × 4 500
6 . A . B = 125 × 4 500
A.B = 93 750
4. Sean: A = 2 . 3a . 5b y B = 2c . 3 . 5
Determinar "A - B", si se sabe que el MCM (A;B) = 180.

Ahora si a losnúmeros se les multiplica por "n" se tiene:

Resolución:

MCD (nA; nB; nC) = nd
MCM (nA; nB; nC) = nm

A = 2 . 3 a . 5b
B = 2c . 3 . 5

PROBLEMAS RESUELTOS
1. Hallar el MCD y MCM de 36 y 144.

MCM (A; B) = 2c . 3a . 5b = 180
2c . 3a . 5b = 2 2 . 32 . 51

Resolución:

De donde: c = 2 ; a = 2 y b = 1

Como 36 está contenido en 144 se tendrá:

Luego:

MCD (36; 144) = 36 (el menor número)
MCM (36; 144) =144 (el mayor número)

2. Hallar el MCD y MCM de 14 y 15.
Resolución:
Como 14 y 15 son PESI se tendrá:
MCD (14;15) = 1 (la unidad)
MCM (14;15) = 210 (el producto)
3. Sabiendo que el MCD de 10A y 15B es 625 y el MCM de
14A y 21B es 31 500, hallar "A.B".
Resolución:
MCD (10A; 15B) = 625

MCM (14A; 21B) = 31 500

5MCD (2A; 3B) = 625

7MCM (2A; 3B) = 31 500

MCD (2A; 3B) = 125 MCM (2A; 3B) = 4 500TALLER DE APRENDIZAJE
1. Hallar el MCD de 18 y 30.



A = 2 . 32 . 51 = 90
B = 22 . 3 . 5 = 60
A - B = 30

2. Hallar el MCM de 20 y 48.

7. Si: P = MCD (7; 15)
Q = MCM (5; 8)
Hallar el valor de "P Q"

3. Calcular el MCD de los números: 144 ; 180 y 240.

8. Hallar el producto de dos números, sabiendo que su
MCD (A; B) = 3 y su MCM (A; B) = 60

4. Calcular el MCM de los números: 48 ;60 y 84

9. Si el MCD (36k; 54k; 90k) = 1620, hallar el valor de "k"

•

Sabiendo que:

A = 23 32 5
B = 22 3 5 2

5. Hallar el MCD (A; B)

10. Del problema anterior, hallar el mayor de los números.

6. Hallar el MCM (A; B)

PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Determinar el MCM de 36; 24 y 63.
a) 320
d) 504

b) 620
e) 576

c) 560

2. Hallar la suma del MCD y MCM de 36 y 180.
a) 194
d) 216

b) 196
e) 224...