Mecanica de fluidos

Problema (2,0 puntos)
Para el sistema de bombeo de la figura, se tiene que el fluido transportado es agua a temperatura ambiente (ρ = 998 kg/m3 y µ = 1·10-3 Ns/m2), y que las cañerías son todas del mismo diámetro d = 50 mm, y del mismo material (cuya rugosidad es ε = 50 µm). El sistema tiene dos válvulas: una en la entrada y otra en la salida de la bomba. La válvula de entrada se encuentracompletamente abierta, y la de salida está abierta en un 50%, lo que permite controlar el caudal de salida y mantenerlo en Q = 6 l/s. Se tienen además, los siguientes coeficientes de pérdidas: para la válvula abierta = 6,9; para la válvula abierta en un 50% = 2,7; y para un codo de 90º = 0,95.

Pregunta
Calcular la potencia que debe transferir la bomba al fluido para mantener el caudal Q.Solución
1. Calcular la velocidad media V en el sistema de cañerías (todas las cañerías tienen el mismo diámetro y el mismo caudal, por lo tanto, las velocidades medias en todos los tramos son iguales):

6 sl ·0,001 ml Q Q V= = = = 3,06 m s A π d 2 3,14 (0,050)2 m 2 4 4
2. Aplicar la ecuación de Bernoulli entre el estanque de salida y el de entrada:

3

(1)

0,1p

P2 V22 P V12 1 + +z = + +z +h+h −H ρg 2 g 1 ρg 2 g 2 s L

(2)

0,3p

En la ecuación (2); los subíndices 1 y 2 indican las superficies de los estanques de entrada y salida respectivamente; hs es la pérdida de carga debido a las singularidades; hL es la pérdida de carga debido a las cañerías; y H es la altura transferida de la bomba al fluido. 3. Simplificar. La ecuación (2) se puede escribir de la siguiente manera:H=

P2 − P V22 − V12 1 + + ( z2 − z1 ) + hs + hL ρg 2g

(3)

De los datos del problema, se sabe que: P1 = P2 = presión atmosférica (los estanques están abiertos a la atmósfera), por lo tanto:

P2 − P 1 =0 ρg

(4)

0,1p

y que: V1 = V2 = 0 debido a que se considera que el agua no se mueve en la superficie del estanque, por lo tanto:

V22 − V12 =0 2g
Reemplazando (4) y (5) en (3),se tiene:

(5)

0,1p

H = ( z2 − z1 ) + hs + hL

(6)

4. Encontrar el valor de hs. La pérdida de carga por singularidades hs está determinada por la suma de la pérdida de cargas de cada una de las singularidades presentes en el sistema de tubería, en otras palabras:

hs = ∑ K

V2 2g

(7)

Donde K son los coeficientes de pérdidas, que deben incluir los dos codos y las dos válvulasdel sistema de bombeo. (También se consideró correcto incluir la entrada y salida de los estanques)

hs = (2 K codo + K válv abierta + K válv 50% )
Reemplazando los datos del problema y (1) en (8), se tiene:

V2 2g

(8)

0,2p

hs = (2·0,95 + 6,9 + 2,7 )

3,062 m2 s 2·9,8 sm 2

2

= 5,49m

(9)

0,1p

5. Encontrar el valor de hL. La pérdida de carga por la cañería hL estádeterminada por la suma de la pérdida de carga de cada uno de los tramos de cañerías, en otras palabras:

hL = ∑

2 2 ⎛ L ⎞⎛ V ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ V ⎞ ⎟ = f ⎜ ⎟⎜ ⎟∑ L f ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ d ⎠⎝ 2 g ⎠ ⎝ d ⎠⎝ 2 g ⎠

(10)

0,2p

Para determinar f se debe calcular el número de Reynolds y la rugosidad específica:
kg m ρVd 998 m ·3,06 s ·0,050m = = 1,53·105 R= Ns µ 0,001 m
3 2

(11)

0,1p

(Se debeindicar que el flujo es completamente turbulento)

(12) (13)

0,1p 0,1p

ε
d

=

50·10−6 m = 1·10− 3 −3 50·10 m

Con los valores en (11) y (12), podemos determinar el valor de f en el Gráfico de Moody:

f = 0,02

(14)

0,2p

Para confirmar el valor de f en (14), utilizaremos la fórmula para flujo turbulento y comenzaremos la iteración con el valor f0 determinado gráficamente en(14):

f1 =

0,25 ⎧ ⎡⎛ ε ⎞ ⎤⎫ ⎪ ⎢ ⎜ ⎟ 2,51 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝d ⎠ + ⎥⎬ ⎨log ⎢ ⎪ ⎢ 3,7 R f 0 ⎥ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎦⎭ ⎩ ⎣ 0,25
2

(15)

f1 =

f2 =

⎧ ⎡1·10− 3 ⎤⎫ 2,51 ⎪ ⎪ log ⎢ + ⎥⎬ ⎨ 1,53·105 2,00·10− 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 3,7 ⎦⎭ ⎩ ⎣ 0,25 ⎧ ⎡⎛ ε ⎞ ⎤⎫ ⎪ ⎢ ⎜ ⎟ 2,51 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝d ⎠ + ⎥⎬ ⎨log ⎢ ⎪ ⎢ 3,7 R f1 ⎥ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎦⎭ ⎩ ⎣ 0,25
2

2

= 0,0215
(16)

(17)

f2 =

⎧ ⎡1·10 − 3 ⎤⎫ 2,51 ⎪ ⎪ log ⎢ + ⎥⎬ ⎨ 1,53·105...