Mecanica de fluidos

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Ecuaciones de Navier – Stokes.

Ecuaciones fundamentales de la Mecánica (movimiento de fluidos).

Establezcamos las ecuaciones del movimiento de un fluido compresible y viscoso. Para el caso general de un movimiento tridimensional, el campo de corrientes está determinado por el vector velocidad

[pic]

con las tres componentes rectangulares [pic]además de la presión [pic]y la densidad[pic]Para la determinación de estas cinco magnitudes disponemos de la ecuación de continuidad (conservación de la masa), las tres ecuaciones del movimiento (conservación de la cantidad de movimiento) y la ecuación termodinámica de estado [pic], es decir, cinco ecuaciones también.

La ecuación de continuidad expresa que la suma de las masas entrante y saliente por unidad de volumen en la unidad detiempo es igual a la variación de la densidad por unidad de tiempo. Luego, para el movimiento no estacionario de un fluido compresible ella podrá escribirse como:

[pic](I.1)

[pic]
mientras que para un fluido incompresible toma la forma simplificada

[pic](I.1a)

Para establecer las ecuaciones fundamentales del movimiento partimos de las leyes fundamentales de la Mecánica, según lascuales, el producto de la masa por la aceleración es igual a la suma de las fuerzas. Las fuerzas que actúan, son fuerzas de masa (peso) y fuerzas de superficies (fuerzas de presión y de rozamiento).

Sean [pic]la fuerza másica por unidad de volumen ([pic]vector del campo gravitatorio terrestre) y [pic]la fuerza de superficie por unidad de volumen, luego, las ecuaciones del movimiento en notaciónvectorial vendrán dadas por:

[pic](I.2)

siendo

[pic]

[pic]

[pic]

la fuerza de masa, la fuerza superficial y la aceleración sustancial respectivamente.

Las fuerzas másicas se consideran fuerzas exteriores, mientras que las fuerzas superficiales dependen del estado de deformación (estado de movimiento) del fluido.

El conjunto de fuerzas superficiales determinan un estado detensión. Nuestro objetivo es ahora, obtener la relación entre el estado de tensión y el estado de deformación.

Campo general de tensiones de un cuerpo deformable.

Para formular las fuerzas de superficie, imaginemos un elemento de volumen de forma cúbica [pic]con su vértice inferior izquierdo en el punto [pic].

Es conocido de la Mecánica que la fuerza total procedente de las fuerzas desuperficie, [pic]por unidad de volumen [pic]es,

[pic](I.3)

con

[pic]

donde [pic]denota las tensiones normales y sus índices las direcciones normales, mientras que [pic]representa las tensiones tangenciales y en doble índice, el primero indica la dirección a la cual es perpendicular el elemento de superficie y el segundo la dirección en la que apunta la tensión [pic].

La tensión puede serdeterminada mediante nueve magnitudes escalares, que forman un tensor de tensiones. El conjunto de las nueve componentes del tensor se llaman también matriz del tensor

[pic]

Se puede demostrar, que las tensiones tangenciales con iguales índices pero en orden inverso, deben ser iguales, o sea [pic], [pic]y [pic]. Esto resulta de la igualdad de momentos alrededor de un eje arbitrario para cuerposelásticos en equilibrio. Por tanto, la matriz del tensor [pic]que tendrá solo seis componentes distintas y será simétrica se puede escribir como

[pic](I.5)

De las ecuaciones (I.3), (I.4) y la simetría de las tensiones tangenciales expresadas en (I.5) tendremos que, la fuerza de superficie por unidad de volumen será

[pic](I.5a)

Luego, si consideramos la ecuación de movimiento (I.2)escrita para la fuerza total procedente de las fuerzas de superficie[pic], ésta expresada por componentes tomará la forma

[pic](I.6)

Para un fluido sin rozamiento, todas las tensiones tangenciales son nulas, solo quedan las tensiones normales, que además son iguales entre sí y cuyo valor cambiado de signo, se llama presión del fluido:

[pic]

De ahí que, la presión del fluido es también...
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