Mecanica

Resumen sobre mecánica analítica
Ecuaciones de Lagrange.
Supongamos una partícula, cuyo movimiento se puede describir mediante una sóla
coordenada x, de modo que en el instante t la posición de la partícula viene dada por la
función x(t). Si la partícula parte del punto xi en t = 0 y en el instante T se encuentra
en la posición xf , la trayectoria real x(t) que realiza la partícula veri…caque la integral de
acción es extrema (máxima o mínima), donde la integral de acción viene dada por:
ZT
S=
L(x; x; t)dt
_
0

donde L es la función lagrangiana. En el caso en que el potencial bajo el que se mueve la
partícula no dependa de la velocidad la lagrangiana viene dada por la función L = T V ,
donde T es la energía cinética y V la potencial. Por tanto, la trayectoria de lapartícula
se obtiene de la ecuación S = 0, donde la variación de la acción debe ser compatible con
las condiciones inicial y …nal. Vamos a obtener la variación de la acción:
ZT
@L
@L
x+
x dt
_
S=
@x
@x
_
0

donde x es cero en los instantes inicial y …nal. Interesa escribir la ecuación anterior de
modo que en todos los términos aparezca x en lugar de x, para ello, utilizaremos la
_siguiente igualdad:
d
dt

@L
x
@x
_

=

d @L
dt @ x
_

x+

de modo que la ecuación anterior queda de la forma:
ZT
@L
d @L
d
S=
x
x+
@x
dt @ x
_
dt
0

@L
x
_
@x
_

@L
x
@x
_

dt

el último término se puede integrar directamente y resulta ser nulo, debido a que x es
nulo en los instantes inicial y …nal. Por último, la condición S = 0 queda de la forma:
ZT
@Ld @L
S=
xdt = 0
@x
dt @ x
_
0

Si queremos que S sea cero para una variación x arbitraria se debe veri…car que el término
que hay entre corchetes sea nulo, y llegamos así a la ecuación de Lagrange, que es:
d @L
@L
=
dt @ x
_
@x
1
2
Si la lagrangiana es de la forma L = 2 mx
_
V (x), la ecuación anterior es:
mx =
•

dV
dx

que como cabía esperar es la ecuación de Newton.Ecuaciones de Hamilton.
La lagrangiana depende de x, x y t, sin embargo, en muchas ocasiones conviene que x sea
_
_
@L
una variable independiente. Para ello, de…nimos la nueva variable p =
y realizamos una
@x
_
transformada de Legendre, utilizando la función hamiltoniana de…nida como H = px L.
_
Podemos comprobar que H es una función de x, p, y t escribiendo su diferencial:
@L
@Ldx
dx
_
@x
@x
_
debido a la de…nición de p la ecuación anterior queda:
dH = xdp + pdx
_
_

@L
dt
@t

@L
@L
dx
dt
@x
@t
de modo que efectivamente las variables de H son x, p, y t. La ecuación anterior se puede
modi…car de la siguiente forma haciendo uso de la ecuación de Lagrange:
dH = xdp
_

@L
dt
@t
Lo que nos permite encontrar directamente las ecuaciones de Hamilton:dH = xdp
_

pdx
_

@H
@p
@H
p=
_
@x

x=
_

Las variables x y p se dice que son canónicas. Por último, utilizando las ecuaciones de
Hamilton se encuentra que:
dH
@H
@H
@H
=
x+
_
p+
_
=
dt
@x
@p
@t

px + xp +
__ _ _

@H
@H
=
@t
@t

Podemos deducir ya las siguientes leyes de conservación. Si la hamiltoniana no depende
explícitamente de x entonces p es unaconstante de movimiento. Del mismo modo, si
la hamiltoniana no depende explícitamente de t entonces la propia hamiltoniana es una
constante de movimiento y se puede comprobar que además coincide con la energía de la
partícula.

Corchetes de Poisson.
A continuación vamos a calcular la variación temporal de una función dinámica f (x; p; t).
La derivada respecto del tiempo será:
df
@f
@f@f
=
x+
_
p+
_
dt
@x
@p
@t
utilizando las ecuaciones de Hamilton la ecuación anterior se puede escribir de la forma:
df
@f @ H
=
dt
@x @p

@ f @ H @f
+
@p @x
@t

Si de…nimos el corchete de Poisson de dos funciones a y b de la siguiente forma: fa; bg =
@a @b @ a @b
, la ecuación anterior se escribe de forma más sencilla como:
@x @p @p @x
df
@f
= ff; Hg +
dt
@t
El...