Mecatronica

TALLER N° 1 : OPERACIONES CON MATRICES.
(1) Sean las matrices:

Eœ

Ô

"
$
Õ "

Hallar:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)

%
#
!

# ×
Ô%
& ß F œ #
Õ"
"Ø

"×
Ô $
$ ß Gœ
%
Ø
Õ
!
"

#
"
&

!
$
#

#×
"
"Ø

$E  #F  G
EÞF
F Þ E (Compare para ver si EÞF œ FÞE)
#ÞEÞFÞG
$ Þ E Þ ÐF  #G Ñ
E# ÐF  G # Ñ
ÐE  $FÑ#
E#  'EF  *F # (De acuerdocon (g), se puede concluir que ÐE  $FÑ# œ E#  'EF  *F # ?¿Por qué?

(2) Calcule los siguientes productos de matrices:

(a)

c$

(b)

#
”!

%

 "dÞ

"
"

Ô

#
"
Õ"

"
!
"

Ô"
$
Þ!
# •Õ
"

#×Ô#×
"Þ"
)ØÕ$Ø
#
"
!

$
#
"

" ×
"
!Ø

En los anteriores ejercicios (1) y (2) usted puede verificar los resultados con el programa EXCEL.
(3) Dadaslas matrices E ß F ß G definidas como sigue:
E œ Ð+34 Ñ%x$ donde +34 œ $3  #4  "
F œ Ð,45 Ñ$x$ donde ,45 œ 4 #  %5
G œ Ð-34 Ñ%x$ donde -34 œ #3 #  34  $4
( a ) Si H œ E  G , encuentre :
( b ) Si \ œ E Þ F , encuentre :
( c ) Encuentre : F Þ G y

.#$ ß .$# ß ."$ (escriba todos los pasos del procedimiento)
B#$ ß B$# ß B%# ß B"$ (escriba todo el procedimiento)

G ÞF

(4)Determine para cuáles valores de B se cumple la ecuación:
cB

"d Þ

%

Ô#
"
Õ$

!×Ô
B×
#Þ
$
œ!
 % Ø Õ  $Î# Ø

"
"
#

(5) Determine para cuáles valores de B se cumple la ecuación:
cB

 #d Þ

$

Ô$
"
Õ%

! × Ô # ×
#Þ
B
œ!
" Ø Õ $ Ø

#
"
$

(6) Si EF œ FE entonces se dice que las matrices E y F son conmutables o que las
matrices E y F conmutan . Demuestreque para cualesquiera valores de Bß Cß Dß A , las
matrices siguientes conmutan À
Eœ”

B
C

C
B•

y

Fœ”

D
A

A
D•

Sugerencia: Muestre que EF œ FE.

(7) Si E# œ ! (matríz cero), entonces se dice que la matriz E es nilpotente de índice 2.
Demuestre que para cualesquiera valores de B y C , se cumple que:
Eœ”

BC
 B#

C#
es nilpotente de índice 2
 BC •Sugerencia: Muestre que E# es igual a la matriz cero.

(8) Calcule E# si la matríz E œ Ð+34 Ñ$x$ con +34 œ Ð  "Ñ34 Ð3  24Ñ2
(9) Encuentre los elementos de la matríz E œ Ð+34 Ñ#x# ß de tal manera que:
%
”!

$
!
ÞEÞ”
#•
"

#
$
œ”
!•
)

"
#

&

•

Sugerencia: Escriba la matriz A general #x# , realice los productos y luego aplique la definición de igualdad
de matrices hastaobtener todos los elementos de A.
V/=:?/=>+ À E œ Œ

"
&Î%

 "&Î%
% 

(10) Encuentre los elementos de la matríz E œ Ð+34 Ñ$x$ ß dado que:
Ô!
!
Õ$

#
!
!

!×
Ô!
" Þ E Þ "
Õ!
!Ø

!
!
"

"×
%
Ô
!
$
œ
Õ
!Ø
"

"
&
#

!×
$
' Ø

Sugerencia: Escriba la matriz A general 3x3 , realice los productos y luego aplique la definición de igualdad
de matriceshasta obtener todos los elementos de A.

V /=:?/=>+ À E œ

Î

"
!
Ï  $Î#

"Î$
#
$

(11) Dada la matríz E œ

 #Î$ Ñ
"Î#
&Ò

Ô#
!
Õ"

$×
% Þ Calcule T ÐEÑ, si:
!Ø

"
"
#

(a)

T ÐBÑ œ $B#  %B  * Þ

(b)
(c)

T ÐBÑ œ  B#  $B  #
T ÐBÑ œ B$  B#  B  "

V/=:?/=>+ À T ÐEÑ œ

Ô%
"#
Õ#

"$
"%
&

'×
%
#% Ø

(12) Sea [ œ ! I5 donde I5 esuna matríz de tamaño "x& ß con un " en la 5 -ésima columna y ! en
&

5œ"

las demás columnas.
Sea I34 la matríz de tamaño &x& que tiene un " en la posición 34 y todos los demás elementos son cero,
y sea la matríz general E œ Ð+34 Ñ&x& , encuentre a qué es igual: I#$ Þ E Þ I$% Þ [ > Þ
(13) Sean las matrices : E œ

Î#
!
Ï%

"
$
"

 #Ñ
% ß
&Ò

Fœ

Î$
#
Ï%

&
"
#"Ñ
Î #Ñ
# ß G œ
"
Ò
Ï $Ò
$
ÐE# ÑÐ " FÑÐG Ñ
5

Utilizando definiciones y propiedades, encuentre el resultado de efectuar À
V/=:?/=>+ À ÐE# ÑÐ " FÑÐGÑ œ
5

Î  "" Ñ
 #(
Ï #* Ò

(14) Sean las matrices: E œ

Ô #
&
Õ)

 $×
'
( ß Fœ”
&
*Ø

Ô (×
%
ß G œ  "$
#•
Õ " Ø

Encuentre por un método analítico (no por tanteo) la matriz \ , sabiendo que:

EÞFÞ\ œ G...