Medicina

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si es una función que tiene un valor crítico en , tal que ,

y si

Ejemplo 1:
Aplicar el criterio de la segunda derivada paraverificar si la función tiene valores máximos o mínimos relativos.

Solución
Primero localizamos sus valores críticos, es decir los valores de x donde la derivada es cero o donde la derivada noexiste:
. Vemos que la derivada existe para todo valor de x, y que existen dos valores de x donde la derivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos son:
Como , probamos ahora el signo de lasegunda derivada para estos valores:

. Como es negativa existe un máximo relativo o local en
. Como es positiva existe un mínimo relativo o local en
El valor máximo local de la función esEl valor mínimo local de la función es
Los puntos máximo y mínimo relativos son:
Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página.

Ejemplo 2:
Aplicar el criterio de la segundaderivada para verificar si la función tiene valores máximos o mínimos relativos.

Solución
. Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valor decero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico: . Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico.
.
Como , entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimorelativo en . Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio de la primera derivada:

I

La función es decreciente en el intervalo y creciente enel intervalo , luego existe un mínimo relativo o local en
El valor mínimo es .


- +

Decreciente Creciente

El punto mínimo es .
Su representación gráfica se puede ver en lasiguiente página.

Gráfica de la función Gráfica de la función
Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función...