MEDIDAS DE DISPERSION

Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Paracalcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado(Varianza).
Rango o recorrido

Es una medida de dispersión y es la diferencia entre el dato mayor y al dato menor. Es la más simple.

R = DM - Dm
Desviación media
La desviación media para datos sueltos es la media de las diferencias en valor absoluto de los valores a la media:
DM
=
xi – |


n
La desviación media para datos agrupados es la media de las diferencias en valorabsoluto de los valores a la media, por las respectivas frecuencias:
DM
=
fi xi – |


n

Este valor estadístico no es de mucha utilidad en estadística debido a que no es fácil manipular dicha función al no ser derivable.
Siendo más formales, la desviación media debería llamarse desviación absoluta respecto a la media, para evitar confusiones con otra medida de dispersión, ladesviación absoluta respecto a la mediana, DM, cuya fórmula es la misma, sustituyendo la media aritmética por la mediana M. Pero tal precisión no es relevante, porque la desviación absoluta respecto a la mediana es de uso todavía menos frecuente.
La desviación absoluta respecto a la media, DM, la desviación absoluta respecto a la mediana, DM, y la desviación típica, σ, de un mismo conjunto devalores verifican la desigualdad:

Siempre ocurre que

Ejemplo de Desviación media para datos no agrupados
Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias diferentes, cada una sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno más idóneo para representar al colegio en un torneo a nivel nacional.
El número de preguntas buenas pormateria se muestra a continuación:
Materia
Carlos
Pedro
Juan
1
2
7
5
2
9
2
6
3
10
2
5
4
2
6
5
5
3
6
5
6
1
3
5
7
9
6
4
8
9
7
5
9
1
6
6
10
4
5
4
SOLUCIÓN
Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de los alumnos, con el fin de determinar el alumno con mayor promedio de preguntas buenas.
Las medias para los resultados de losalumnos coinciden: los tres alumnos tienen responden en promedio 5 preguntas correctas por prueba. ¿Cuál sería entonces el indicador diferenciador entre los alumnos?.
Complementemos el análisis anterior calculando la desviación media:
Carlos muestra una desviación media de 3,9 indicando que los datos se alejan en promedio de la media en 3,9 preguntas buenas. Pedro disminuye su variación (2,9),siendo Juan el que menos variación presenta con 0,9 preguntas tanto por arriba como por debajo de la media aritmética. Se recomienda al colegio elegir como ganador en este caso a Juan, presenta resultados más constantes que los otros dos alumnos, Juan en promedio acierta 5 preguntas buenas con una variación muy baja (rondando entre 4 y 6).

Ejemplo: Desviación media para datos agrupados
Una maquinadispensadora de gaseosas esta programada para llenar un envase con 350 c.c. de un refresco popular. A partir de una muestra de prueba realizada sobre 30 envases se realizó la siguiente tabla de frecuencia:
Ni
Lm
Ls
f
X
1
130.0
140.1
2
135.1
2
140.1
150.1
5
145.1
3
150.1
160.1
14
155.1
4
160.1
170.1
4
165.1
5
170.1
180.1
4
175.1
6
180.1
190.0
1
185.1
Total
30...