Medidas de posicion central y no central

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Medidas de Posición Central, No Central y de Dispersión
Las principales medidas de posición central son las siguientes:

Media
Es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas: a. Media aritmética (Xm): se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide porel total de datos de la muestra:

b. Media geométrica (Xg): se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

La media geométrica se sueleutilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada. Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.

Sin embargo,presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso

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del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad. c. Media Armónica (Xh): La media armónica, de una cantidad finita de números es igual alrecíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números Así, dados los números a1,a2, ... , an, la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto. La media armónica no está definida en elcaso de la existencia en el conjunto de valores nulos. d. Media ponderada (Xw): A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si X1,X2,...,Xn es un conjunto de datos o media muestral y w1,w2,...,wn son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se definela media ponderada relativa a esos pesos como:

Def i n i ci ón La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. es el símbolo de la media aritmética.

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Ejemplo Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados enuna tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

xi [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) 15 25 35 45 55 65 75

fi 1 8 10 9 8 4 2 42

(xi)(fi) 15 200 350 405 440 260 150 1820

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Propiedades de lamedia aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media es igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0: 8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 = 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de lavariable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. Observaciones sobre la media...
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