Medidas De Tendencia Central y Posición

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
SIMON RODRIGUEZ
FIEC-UNESR

ESTADISTICA I

MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE POSICION

Maracay, 2004

Medidas de Tendencia Central
En esta sección definiremos una serie de medidas o valores que tratan de representar o resumir a una distribución de frecuencias dada, sirviendo la cual además para realizar comparaciones entre distintas distribucionesde frecuencias. Estas medidas reciben el nombre de promedios, medidas de posición o medidas de tendencia central.

a. Media aritmética
Llamando xl, ..., xk a los datos distintos de un carácter en estudio, o las marcas de clase de los intervalos en los que se han agrupado dichos datos, y ni,..., nk a las correspondientes frecuencias absolutas de dichos valores o marcas de clase, llamaremosmedia aritmética de la distribución de frecuencias
Cálculo de la media de datos no agrupados:
Para encontrar la media aritmética, sumamos los valores y el resultado lo dividimos entre el número de observaciones.
Cálculo de la media de datos agrupados:
Para encontrar la media aritmética de datos agrupados, primero calculamos el punto medio de cada clase. Para lograr que los puntos medios quedenen cifras cerradas, redondeamos las cantidades. Después, multiplicamos cada punto medio por la frecuencia de las observaciones de dicha clase, sumamos todos los resultados y dividimos esta suma entre el número total de observaciones de la muestra.
 M = ∑fi . x•
n
f = frecuencia de observaciones de cada clase
x= punto medio de cada clase de la muestra
n = número de observaciones dela muestra

b. Mediana
La mediana es otra medida de posición, la cual se define como aquel valor de la variable tal que, supuestos ordenados los valores de ésta en orden creciente, la mitad son menores o iguales y la otra mitad mayores o iguales
Así, si en la siguiente distribución de frecuencias,
|xi |ni |Ni |
|0 |3 |3 ||1 |2 |5 |
|2 |2 |7 |
| |7 | |

ordenamos los valores en orden creciente, 0   0   0   1   1   2   2; el 1 será el valor que cumple la definición de mediana.
Lógicamente, en cuanto el valor de la frecuencia total sea ligeramente mayor, este procedimiento resulta inviable. Por estarazón, daremos a continuación una fórmula que permita calcularla. No obstante, será necesario distinguir los casos en los que los datos vengan agrupados de aquellos en los que vengan sin agrupar.
entonces la mediana es
[pic]
Eejmplo:
La distribución de frecuencias acumuladas del ejemplo del número de hijos era
|Nº de hijos(xi) |0  |1  |2  |3  |4  ||Frecuencias Acumuladas(Ni) |5  |11 |19 |23 |25 |

y como es n/2=12'5 y en consecuencia
11 < 12'5 < 19
la mediana será Me= 2.
entonces, la mediana, está en el intervalo [xj-1, xj), es decir entre xj-1 y xj, tomándose en ese caso, por razonamientos de proporcionalidad, como mediana el valor
[pic]
siendo cj la amplitud del intervalo [xj-1, xj).Cálculo de la mediana a partir de datos agrupados:
 Encontrar qué observación de la distribución está más al centro (Mediana = (n + 1) / 2).
Un método más sencillo:
 m = {[(n + 1) / 2 – (F + 1)] / fm} w + Lm
 
m = mediana de la muestra
n = número total de elementos de la distribución
F = suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir, la clase mediana
fm = frecuencia de laclase mediana
w = ancho de intervalo de clase
Lm = límite inferior del intervalo de clase mediano

c. Moda
La moda se define como aquel valor de la variable al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o relativa). Para calcularla, también será necesario distinguir si los datos están o no agrupados.
o Datos sin agrupar:
Para datos sin agrupar, la determinación del valor o...