Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.
[pic]
[pic]
En este climograma las líneas roja, verde y azul representan a las temperaturasde todo el mes a través de su promedio.
Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.[1] En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
• Media aritmética.
•Media ponderada.
• Media geométrica.
• Media armónica.
• Mediana.
• Moda.

La media aritmética

Artículo principal: Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido sumando todas las observaciones y dividiendo el total por el número de observaciones que hay en el grupo.
La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta todos loscasos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba:
Alumno Nota
1 6,0 ·Primero, se suman las notas:
2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6
3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos:
4 7,0 27,6/5=5,52
5 6,1 ·La media aritmética en este ejemplo es 5,52

Lamedia aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.[2] Se le llama también promedio o, simplemente, media.

Definición formal

Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2, ..., xn, se define su media aritmética como
[pic]
Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse paravariables agrupadas en intervalos.

Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:[3]
• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
• Su valor es único para una serie de datos dada.
• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.
• Se interpreta como "punto deequilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:
[pic]
• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de [pic]es mínimo cuando [pic]. Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de losparámetros de dispersión más importantes: la varianza.
• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si
xi' = axi + b entonces [pic], donde [pic]es la media aritmética de los xi', para i = 1, ..., n y a y b números reales.
• Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.Inconvenientes de su uso

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:
• Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.
[pic]
[pic]
La estatura media como resumen de una población homogénea(abajo) o heterogénea (arriba).
• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media. Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura...