Medio ambiente

Completar el cuadrado
"Completar el cuadrado" es cuando...
... tenemos una ecuación cuadrática como: | | y la ponemos en esta forma: |
ax2 + bx + c = 0 | | a(x+d)2 + e = 0 |

Para los quetengáis prisa, os puedo decir ya que: | | , y: | |

Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
La pista
Primero tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 + 2dx + d2
Así que si podemos poner la ecuación en la forma: |
| x2 + 2dx + d2 | |
Entonces podemos escribirla inmediatamente como: |
| (x+d)2 | |Que está bastante cerca de lo que queremos, el trabajo estaría casi hecho |
El caso más simple
Vamos a trabajar primero con: | |
Suma (b/2)2 a los dos lados: | |

Ahora mira la "pista" dearriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2
Sí, está en la forma x2 + 2dx + d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir |
Completamos el cuadrado: | |
| |
¿Ves? No es difícil. Con truco perono difícil. |
El completo
Ahora vamos al caso completo:
Empieza con | |
Divide la ecuación entre a | |
Pon c/a en el otro lado | |
Suma (b/2a)2 a los dos lados | |

¡Ajá! ¡Tenemos laforma x2 + 2dx + d2 que queríamos!
(si "b/2a" es "d", claro) |
"Completamos el cuadrado" | |
Ahora lo traemos todo de vuelta... | |
... a la izquierda | |
... y con el coeficientecorrecto de x2 | |

Fíjate en que tenemos: | | a(x+d)2 + e = 0 |
Donde: | | | , y: | |
|
Ejemplo
Vamos a probar con un ejemplo de verdad:
Empieza con | 3x2 - 4x - 5 = 0 |
Divide laecuación entre a | |
Pon c/a en el otro lado | |
Suma (b/2a)2 en los dos lados | |
... ahora la podemos transformar... |
"Completamos el cuadrado" | |
Podemos simplificar las fracciones | |Ahora lo traemos todo de vuelta... | |
... a la izquierda | |
... y con el mismo coeficiente de x2 | |

| Pero pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de la...