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ÁLGEBRA MATRICIAL PROF. MARIELA SARMIENTO SESIÓN 2: ESPACIO VECTORIAL Propiedades de la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar Teorema 2.1: Si A, B y C son vectores cualesquiera y c y d son escalares entonces la suma vectorial y la multiplicación por un escalar cumplen lo siguiente: 1. A + B = B + A (Ley conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Ley Asociativa) 3. ∃O tal que A + O = A (Elemento Neutro para la suma) (Ley Distributiva) (Ley Distributiva) 4. ∃ -A tal que A + (-A) = O (Elemento Simétrico o Negativo) 5. c(A + B ) = cA + cB 6. (c + d) A = cA + dA

Definición: Un Espacio Vectorial real V está formado por un conjunto de vectores, y un conjunto de escalares (números reales), y está dotado por dos operaciones suma de vectores y multiplicación por unescalar tal que para cada par de vectores A∈V y B∈V y ∀c∈R se tiene: A+B ∈ V y cA ∈ V de tal forma que se satisfacen las propiedades del Teorema anterior. Observación: Si A = ( a1 , a2 ) se tiene: (a1, a2) = (a1, 0) + (0, a2) = a1(1, 0) + a2(0, 1) Los vectores llaman (1, 0) y (0, 1) y son los vectores de magnitud 1 por lo que se vectores i = (1, 0 ) , unitarios j = ( 0 , 1) denotamos por:Representación geométrica de i y j:

Propiedades de los espacios vectoriales Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial 1. 0 . u = O ∀ u ∈ V 2. α . O = O , ∀ α ∈ K 3. α . u = 0 → α = 0 ó u = O 4. (- α)u = -(αu) , ∀u∈V y ∀α∈K. En particular -u = (-1)u = -( 1u) SUBESPACIOS Definición: Dado (V, K, +, . ) un espacio vectorial y dado S ⊂ V un subconjunto no vacío de V, decimos que (S, K, +, . ) es unsubespacio de (V, K, +, . ) si y sólo si (S, K, +, . ) es un espacio vectorial. Ejemplo 1: Sea (R2, R, +, . ) y sea S = { (x,y) ∈ R2 / y = 2x } S es un subespacio de R2. En efecto, S ⊂ R2 y cumple con todas las propiedades para (S, R, +) y (S, R, .) , luego S es un espacio vectorial.

Proposición: Si S ⊂ V , S ≠ ∅ y S es cerrado con respecto a la suma y al producto por un escalar entonces (S, K, +, . )es un subespacio de (V, K, +, . ). Ejemplo 2: Verifiquemos que S, dado en el ejemplo 1, es un subespacio de (R2, R, +, . ). 1. S ≠ ∅ ? Si porque (1,2) ∈ R2 2. S ⊂ V ? Cierto, por definición de S todos los elementos de S están en R2. 3. S es cerrado respecto a la suma ? ( Si a , b ∈ S → a + b ∈ S ?) Sea a (x , y) y b (z, w) → y = 2x , w = 2z Luego

a + b = ( x, y ) + ( z , w) = ( x,2 x ) + ( z ,2z ) = ( x + z ,2 x + 2 z ) = ( x + z , 2 ( x + z )) ∈ S
4. S es cerrado respecto al producto por un escalar? (Si α∈R y a∈S → αa ∈ S ?)

α a = α ( x, y ) = α ( x, 2 x ) = (α x , 2 α x ) ∈ S
Luego S es un subespacio de R2 OPERACIONES CON SUBESPACIOS 1. Intersección de Subespacios:

Sea {Si} una familia de subespacios de (V, K, +, . ) entonces S = I S i
i

es un

subespacio de V. 2. Uniónde Subespacios: Si S1 y S2 son subespacios de V entonces S1 U S2 no necesariamente es un subespacio de V. Ejemplo 3: En (R2, R, +, . ), consideremos a S1 y S2 formados por cada una de las rectas de la figura, entonces S1 U S2 está formado por el par de rectas. Si tomamos los vectores a ∈ S1 y b ∈ S2 tenemos a + b ∉ S1 U S2 (a+b está fuera de ambas rectas)

3. Suma de Subespacios: Sea S1 y S2dos subespacios de (V, K, +, . ). Sea S = S1 + S2 = { x ∈ V / x = x1+ x2 , x1 ∈ S1 , x2 ∈ S2 } S es un subespacio suma de S1 y S2 . S es un subespacio de V. Demostración: 1. S ≠ ∅ ? Si porque O ∈ S1 y O ∈ S2 por ser subespacios. Entonces O + O = O ∈ S 1 + S2 → O ∈ S 2. S ⊂ V ? Cierto, por definición de S. 3. S es cerrado respecto a la suma ? ( Si a , b ∈ S → a + b ∈ S ?) Sean a , b ∈ S → a = a1 + a2y b = b1 + b2 con a1 , b1 ∈ S1 y a2 , b2 ∈ S2 Luego
a + b = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 ) = (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) ∈ S

donde (a1 + b1) ∈ S1 y

(a2 + b2) ∈ S2 Luego (a + b) ∈ S

4. S es cerrado respecto al producto por un escalar?

(Si α∈R y a∈S → αa ∈ S ?) Sea α∈R y a∈S , a = a1 + a2 con a1 ∈ S1 y a2 ∈ S2
y α a2 ∈ S 2

α a = α (a1 + a 2 ) = α a1 + α a 2 ∈ S
Luego α a ∈ S

porque α...