Metodo de Biseccion

METODO DE BISECCIÓN
Conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentrodel cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Pasos método de bisección.
Paso 1.- Elegir los valores iniciales inferior Xl y superior Xu de forma que la función cambia de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(Xl) f(Xu) < 0.
Paso 2.- La primera aproximación a la raíz, se determina como xr.
Paso 3.- Realice lassiguientes evaluaciones para determinar en que subintevalo cae la raíz.

a) Si f(Xl) f(Xu) < 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo. Por lo tanto, tome Xu = Xl y continúe en el paso 2.
b) Si f(Xl) f(Xu) > 0 entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior . Por lo tanto resuélvase Xl=Xr y continúe en el paso 2.
c) Si f(Xl) f(Xu) = 0. la raiz es igual a Xr; terminael cálculo.

Problem Bisección Series.
Use the graph to determine the approximate coefficient c reasoning required for a skydiver of mass m = 68.1 kg has a speed of 40 m / s after a free fall of t = 10 s. The acceleration of gravity is 9.8 m / s ². Consider Xl=12 Xu=16.
Solution

In the following calculation of the value of the product function of a lower and a middle point is:
F(12) f(14) = 6.067 (1.569) = 9.517
The root should be located between 14 and 16

Єt= 1.5 %
F(14) f (16) = 1.569 (-0.425)= -0.666

So the root is located between 14 and 15.

Єt= 1.9 %



So after 6 iterations the value of Ea is less than is the calculation and may end.

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
La falsa posición es una alternativa basada en una visualización grafica.
Este métodoalternativo que aprovecha la visualización grafica es la de unir f(Xl) y f(Xu) con una línea recta. La intersección de esta línea en el eje de las x representa una mejor estimación de la raíz. El echo de que se remplace la curva por una línea recta de una “posición falsa” de la raíz. También a este método se le conoce como de interpolación lineal.
Usando triángulos semejantes la intersección de larecta en el eje x puede ser estimado como:

Por lo tanto

Esta es la fórmula de la falsa posición


Desarrollo del método de la falsa posición
Multiplicando en cruz la ecuación:
f(Xl) – (Xl – Xu) = f(Xu) – (Xr – Xl)
Reagrupando términos y ordenando
Xr [(Xl – Xu) ]= Xu f(Xl) - Xl f (Xu)
Dividiendo entre f(Xl) – Xl f(Xu)

Separamos los términos
-
Sumando y restando a Xu enel lado derecho

Agrupando términos:

O



Problem Method of false position.
Uses the above problem, start the calculation with the initial values ​​ Xi = 12 and Xu = 16
First iteration.
Xl= 12 f(Xl)= 6.0699
Xu=16 f(Xu)= -2.2688
Xr= 16
Which has a true relative error of 0.89%

Second iteration
f(Xl)f (Xu) = -1.5426
Thus the root is in the first subinterval.
Xl= 12f(Xl)= 6.0699
Xu=14.91113 f(Xu)= - 0.2543
Xr= 16

MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación    a la raíz    de  ,

Trazamos larecta tangente a la curva en el punto  ; ésta cruza al eje    en un punto   que será nuestra siguiente aproximación a la raíz  .
Para calcular el punto  , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
 

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
 

Hacemos  :
 

Y despejamos  :
 

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson  para...