Metodo De Euler

Introducción

Dada cierta dificultad para encontrar soluciones exactas a la resolución de ecuaciones diferenciales, podemos deducir aproximaciones usando métodos numéricos como herramienta. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas complejos de tal forma que puedan ser resueltos con la utilización de operaciones aritméticas para lograr lasaproximaciones.
En este trabajo se desarrollará el Método de Euler o método de las tangentes; el cual es considerado como una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales
La idea de esta técnica es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.


Método de Euler

Euler es una técnica utilizada para aproximarsoluciones de ecuaciones diferenciales; supongamos que queremos aproximar la solución del problema de valores iniciales y ’ = f(x, y) para el cual y(x0) = y0. Se posee un valor h, el cual es un incremento positivo sobre el eje x, entonces, como se muestra en la figura, podemos encontrar un punto Q(x1, y1) = (x0 + h, y1) sobre la tangente en P (x0, yo) a la curva solución desconocida.
De laecuación de una recta que pasa por un punto dado, se tiene:

O bien en donde
Si denotamos x0+h por x1, entonces el punto Q x1, y1ubicado sobre la tangente es una aproximación del punto R x1, y(x1) que se encuentra sobre la curva solución. Esto es y1 ≈ y(x1)..
La aproximación h puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima o menos. Pero si elvalor de  h es más grande, entonces podemos cometer un mayor error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, con la nueva  h  igual  a 
Suponiendo que h tiene un valoruniforme (constante), podemos obtener una sucesión de puntos x1, y1, x2, y2,. . ., xn, ynque sean aproximaciones de los puntos x1, y(x1) x2, y(x2). . ., x2, y(x2)
Ahora bien, usando el valor de y2 que es la ordenada de un punto sobre una nueva “tangente”, tenemos:
; O bien es decir



En general se tiene que:


En donde xn+1 = xn+ h

Pseudocódigo del método de Euler.1. Proporcionar f, x0, y0, h, n.
2. Imprimir x0, y0.
3. Desde i=1 hasta i=n.
a. Calcular y1= y0+hf x0,y0
b. Hacer y0 = y1; x0 =x0+h.
c. Imprimir x0, y0
4. Terminar.
Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler para aproximar y(0.5), dada la ecuación diferencial. Con h=0.1
y`= x+y y(0)=1
Datos
x0 = 0
y0 = 1
h = 0.1
f x,y = x+y

Lasformulas a utilizar son:

Para n=1
x1= x0+h=0+0.1=0.1
y1= y0+hf x0,y0= 1+0.1*0+1=1.1

Para n=2
x2= x1+h=0.1+0.1=0.2
y2= y1+hf x1,y1= 1.1+0.1*0.1+1.1=1.22

Para n=3
x3= x2+h=0.2+0.1=0.3
y3= y2+hf x2,y2= 1.22+0.1*0.2+1.22=1.362

Para n=4
x4= x3+h=0.3+0.1=0.4
y4= y3+hf x3,y3= 1.362+0.1*0.3+1.362=1.5282

Para n=5
x5= x4+h=0.4+0.1=0.5
y5= y4+hf x4,y4= 1.5282+0.1*0.4+1.5282=1.72102Los resultados son resumidos en la siguiente tabla: 
n | xn | yn |
0 | 0 | 1 |
1 | 0.1 | 1.1 |
2 | 0.2 | 1.22 |
3 | 0.3 | 1.362 |
4 | 0.4 | 1.5282 |
5 | 0.5 | 1.72102 |
De lo cual, se concluye que la aproximación buscada es: 
y(0.5) ≈1.721
Ejemplo 2

Aplicar el método de Euler para determinar un valor aproximado de y1 con la ecuación diferencial y`= x2y+y con y0=1.Considere que el tamaño de paso es h=1.
Datos
x0 = 0
y0 = 1
h = 0.1
f x,y = x2y+y
Las formulas a utilizar son:

Para n=1
x1= x0+h=0+0.1=0.1
y1= y0+hf x0,y0= 1+0.1*021+1=1.1

Para n=2
x2= x1+h=0.1+0.1=0.2
y2= y1+hf x1,y1= 1.1+0.1*0.121.1+1.1=1.2111

Las demás iteraciones están resumidas en la siguiente tabla y fueron resueltas mediante la configuración...