Método De Euler

Método de Euler
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:
dy/dx = f(x,y)

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso

Obien,

Yi+1 = y1 + Φh
(1)

De esta manera, la fórmula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.

Φ = f(x,y)f(xi, yi), es la ecuación diferencial ealuada en xi y yi. Sustituyendo esta estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

Yi+1 = y1 + f(xi, yi)h
(2)
La ecuación (2), es el método de Euler. En esta fórmula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobreel tamaño de paso h.

Ejemplo: dy/dx = -2x3 + 12x2 – 20x + 8.5
Desde x= 0 hasta x = 4, con un tamaño de paso h = 0.5. Con la condición inicial de que cuando x = 0 entonces y = 1.
Sustituyendo:
F(0,1)= -2(0)3 + 12(0)2 – 20(0) + 8.5 = 8.5
En la fórmula de Euler:
Y2 = 1+8.5(0.5) = 5.25
Método de Euler Mejorado
El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valorpromedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.
EL METODO DE EULER MODIFICADO CONSTA DE DOS PASOS BASICOS:

1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso seconoce como paso predictor.
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecua¬ción diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)


1/2 [F (xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedioSe usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1, con la ecuación y1=y0+hf(x0, y0), que deberá ser más exacto que y1



Y se tomara como valor definitivo de y1. Este procedimiento se repite hasta llegar a yn.
El esquema iterativo para este método quedara en general así:
Primero, usando el paso de predicción resulta:

.
Una vez obtenida yi+1 se calcula f (xi+1, yi+1),la derivada en el punto (xi+1, yi+1), y se promedia con la derivada previa (xi,yi) para encontrar la derivada promedio


Se sustituye f (xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de Euler y se obtiene:




Ejemplo: PVI POR EL METODO DE EULER MEJORADO.

SOLUCION:

Al utilizar 5 intervalos se tiene:
PRIMERA ITERACION:

Primer paso: y1=y0+hf(x0,y0)=2+0.2 (0-2)=1.6

Segundo paso:

Y (0.2)= y1=2+0.2 (-1.7)= 1.66

SEGUNDA ITERACION:
Primer paso: y2=y1+hf(x1,y1)=1.66+0.2 (0.2-1.66)=1.368
Segundo paso:

Y (0.4)=y1=1.66+0.2 (-1.214)=1.4172

Al continuar con los cálculos se obtiene:

Y5=1.08509
Y5’=1.11222
 
Método de Runge Kutta de Segundo Orden
Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia (12) en donde la función está...