Método de euler

Método de Euler
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial

(1.12)

Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a la curva está dada por y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante(1.13)

siempre y cuando sea pequeño. De aquí obtenemos que



Con lo cual podemos usar el punto para construir el siguiente punto y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:



los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos





Figura 9
Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial delproblema de valor inicial 1.12 obtenemos el método de Euler



Objetivo General:
• Aplicar los conocimientos básicos del cálculo, utilizando el lenguaje de programación Matlab.
Objetivos Específicos:
• Aplicar el algoritmo necesario para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), a través de una pequeña aplicación desarrollada en Matlab.
• Aplicar los algoritmos necesarios pararesolver EDO, utilizando métodos numéricos, y en este caso particular, el método de Euler y Euler mejorado, a través de aplicaciones en Matlab.
Introducción
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó variasvariables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términosmatemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial esimposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.
Descripción de los métodos
Método de Euler
Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con laderivada.
La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). [1]
Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:
[2]
Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivadaen el valor original de X).

Error para el método de Euler
La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.
1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que puedenretener una computadora.
Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.
La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente...