Metodo de gauss

Propiedades
(A • B)-1 = B-1 • A-1
(A-1)-1 = A
(k • A)-1 = k-1 • A-1
(A t)-1 = (A -1)t

Cálculo por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular lamatriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidadI en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, enla matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2La matriz inversa es:


Este método se basa en el conocimiento de las propiedades de las matrices , de tal forma que un sistema se puede calcular sabiendo cual es la matriz inversa de loscoeficientes del sistema .
Recordemos que la matriz inversa se puede calcular de dos formas :
• Por determinantes y adjuntos
• Por Gauss ( este es el método que utilizaremos )
El métodode Gauss para calcular matrices inversas es parecido al resolución de sistemas , ya que se basa en que a partir de la matriz de los coeficientes obtengamos la matriz identidad combinandofilas entre sí .
Veamos el ejemplo :

Debemos de poner :

Todo lo que le hagamos a la matriz de la izquierda debemos de hacerlo a la derecha, y al final, a la izquierda debe aparecer lamatriz identidad y a la derecha la matriz inversa .




Como podemos observar a la izquierda hemos conseguido la matriz identidad y a la derecha tenemos la matriz inversa .
Entoncesel sistema se puede poner así :

Pasando la matriz de los coeficientes al otro miembro :

Multiplicando estas dos matrices :

Que es el resultado que ya sabíamos por Gauss .