Metodo de la secante

METODO DE LA SECANTE
1. Introducción

El presente documento hacemos referencia sobre el método de la secante, en análisis numérico el método de la secante es un método que nos permite evaluar las raíces de funciones cuya derivada es difícil de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás. Y se obtiene de este modo lasiguiente fórmula iterativa. Resolveremos el algoritmo y utilizaremos el programa Matlab para la resolución de dicho método.

2. Antecedentes Históricos
La historia del descubrimiento de la solución algebraica de la cúbica enfrentó a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540, y Ferrari, alumno y secretario de Cardano resolvió en 1545 la ecuación de cuarto grado.Posteriormente fueron muchos los matemáticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemático noruego Abel en 1893 probó que es imposible resolver por radicales la ecuación general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar técnicas numéricas.3. Aplicaciones del método numérico

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.

4. Fundamentos teóricos
Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es uninconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás, como:

En el método de la secante en lugar de obtener una sucesión de intervalos se calcula una sucesión de números que aproximan el cero de lafunción.
Comenzando de dos aproximaciones x0; x1 a la raíz que se busca α, primero se construye la rectas secante que pasa por los puntos (x0; f(x0)); (x1; f(x1)) y se calcula su corte con el eje OX que se le llama x2, después se evalúa f(x2). El proceso se repite con x1 y x2 para calcular x3 y sucesivamente x4; x5….
La expresión que generaliza el método de la secante es la siguiente:

Lasiteración del método de la secante (3.1) no son infalibles, puede ocurrir que algún de los xn no se encuentre en el dominio de f o que el denominador sea casi cero, en cuyo caso la secante es horizontal y salvo que xn fuese ya un cero de f no corta al eje de las abscisas.

5. Método numérico

El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este métodode la secante no requiere de la segunda derivada.
 
Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x, es decir un intervalo (xi-1,xi), los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y, los puntos a obtener son f(xi-1) y f(xi), por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función son (xi-1,f(xi-1)) y el (xi ,f(xi)).

Se debeconsiderar que los puntos xi-1 y xi deben de contener a la raíz, por lo que el punto xi-1 debe estar a la izquierda y el punto xi a la derecha de la raíz.
 
Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el eje de la x, genera el siguiente punto de acercamiento xi+1 , el cual quedara ubicado entre el intervalo propuesto, como se muestra en laFig.
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la...