METODO DE VARIACION DE PARAMETROS

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M´ todo de Variacion de Par´ metros
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El objetivo del m´ todo de variacion de par´ metros es encontrar una funcion y = y(t) que
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a
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cumpla la ecuacion diferencial
y(n) + an−1 ( t ) y(n−1) + · · · + a1 ( t ) y + a0 ( t ) y = f ( t ) ,

(1)

donde f (t), a0 (t), ..., an−1 (t) son funciones continuas en un intervalo de IR.
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En otras palabras, se trata de encontrar unasolucion particular de la ecuacion diferencial (1),
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que es una ecuacion diferencial lineal de orden n, no homog´ nea. Obs´ rvese que no se supone
e
e
que a0 , . . . , an−1 sean constantes.
Ante todo hay que decir que cuando se puede usar Nota historica: El m´todo de variaci´ n
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e
o
el m´ todo de los coeficientes indeterminados para ha- de par´ metros se remonta a los Prine
a
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llaruna solucion particular de (1) se debe usar este cipia de Newton; despu´ s de estudiar
e
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m´ todo, siendo el m´ todo de variacion de par´ metros el movimiento de la Luna alrededor de
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la opcion m´ s costosa con diferencia.
a
la Tierra. El m´ todo fue usado por Jean
e
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El m´ todo de variacion de par´ metros requiere en Bernouilli en 1697 y por Euler en 1739
e
a
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primerlugar resolver la ecuacion homog´ nea asocia- al tratar la ecuacion y + k2 y = f (t).
e
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da a (1); es decir
´
Laplace escribio muchos art´culos soı
y(n) + an−1 y(n−1) + · · · + a1 y + a0 y = 0.

(2)

yh (t) = C1 y1 (t) + · · · + Cn yn (t)

(3)

Sea
´
la solucion de (2), siendo C1 , . . . , Cn constantes reales.
Una forma matricial de escribir (3) es


C1
yh (t) = ( y1 (t) · ·· yn (t))  · · ·  .
(4)
Cn

bre este m´ todo, el cual fue desarrollae
do de forma completa por Lagrange en
1775. (Nota obtenida de El pensamiento
matem´ tico de la antiguedad a nuestros
a
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d´as. Morris Kline. Alianza Universiı
dad).
La forma usada aqu´ difiere de la de
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Lagrange, entre otras cosas, pues las
matrices fueron desarrolladas a mediados del siglo XIX.

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Lasolucion de la homog´ nea, yh , se puede escribir de forma muy compacta de la siguiente mae
nera:
yh (t) = Y(t)C,
C ∈ IRn ,
(5)
en donde se ha definido
Y(t) = ( y1 (t) · · · yn (t)).

(6)

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´
El m´ todo de variacion de par´ metros consiste en encontrar una funcion de la forma
e
a
y(t) = Y(t)F(t)

(7)

´
que cumple la ecuacion diferencial no homog´ nea (1), donde F(t) es un vectorcolumna de n
e
funciones por determinar. Obs´ rvese que (7) se obtiene tras “convertir” el vector constante C en
e
(5) en el campo vectorial F. De aqu´ el nombre de m´todo de variaci´ n de par´ metros. Este m´ todo
ı
e
o
a
e
se basa en el siguiente teorema:
T EOREMA : Sea F = F(t) un vector columna formado por n funciones que cumple
YF = · · · = Y(n−2) F = 0,

Y(n−1) F = f ,

(8)

´donde Y est´ definido en (6). Entonces la funcion YF cumple (1).
a
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Ilustremos este teorema con un ejemplo (la demostracion del teorema la haremos m´ s adea
´
lante). Precisamente resolveremos la ecuacion propuesta por Euler: y + k2 y = f (t) que corresponde al estudio de un resorte mec´ nico sin resistencia con una fuerza externa, fijando el origen
a
´
para que la posicion de equilibriosea y = 0.
1

E JEMPLO : Resu´ lvase el siguiente problema de valor inicial:
e
y + k2 y = f (t)

y(0) = y0

y (0) = v0 ,

´
donde k es una constante positiva y f una funcion continua en un entorno de t = 0.
En primer lugar debemos resolver la homog´ nea (se puede hacer como ejercicio) y se obtiene
e
C1 , C2 ∈ IR.

yh (t) = C1 cos(kt) + C2 sen(kt),

(9)

´
En este ejemplo ysiguiendo la notacion previa, definimos por (6)
Y(t) = (cos(kt) sen(kt)).

(10)

Obs´ rvese que a lo largo del problema se tiene n = 2. Hemos de hallar el campo vectorial F,
e
teniendo este campo 2 componentes y siendo columna; es decir
F1 (t)
F2 (t)

F(t) =

,

(11)

donde F1 y F2 son campos escalares que hay que hallar. Escribamos las ecuaciones correspon´
´
dientes a (8). En...