Metodo simplex
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Publicado: 1 de marzo de 2012
En el algoritmo del Símplex, se parte de un programa base que estará formado por vectores unitarios (vector proceso unitario), realizando iteraciones sucesivas, de manera que en cada uno de ellos, la matriz de coeficientes asociada al programa base sea una matriz identidad.
Los pasos a seguir en el algoritmo del Símplex son:
1. Convertir desigualdades en igualdades, introduciendo para ellovariables de holgura, que serán positivas en restricciones menores o iguales, y negativas en restricciones mayores o iguales.
2. Obtener el programa base: Esta es la pregunta inicial de la cual partimos para determinar la solución. Para encontrar el programa base, tomaremos un vector unitario de cada una de las restricciones del problema, de acuerdo con el siguiente esquema:
2.1. Escogeraquellas variables de holgura con el mismo signo que el término independiente y coeficiente unitario.
2.2. En su defecto, escoger aquellas variables Xi que aparezca en una única restricción, y tenga el mismo signo que el término independiente. Esta variable deberá tener coeficiente unitario.
2.3. En su defecto, introduciremos en aquellas restricciones de las cuales no hemos tocado aún, unvector unitario una variable artificial Kj afectada de un rendimiento –N si estamos maximizando, o de un rendimiento +N si estamos minimizando, y que tendrá un coeficiente unitario.
El método Simplex básicoEl método Simplex, introducido en su forma original por Spendley; Hext y Himsworth, en 1962, no se basa en planeamientos factoriales y por eso requiere pocos experimentos para moverse,desplazándose en la dirección del óptimo. La aplicación del método Simplex en Química Analítica fue efectuada por la primera vez en 1969. El método Simplex original, a lo largo de estos años, há sufrido modificaciones que obligaron a la distinción del mismo dentro de las estrategias de optimización, así el método Simplex original pasó a ser llamado de Método Simplex Básico (MSB).
El procedimiento deoptimización, en el método Simplex, comienza por la elección de la n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta. Este resultado será evaluado contra las demás respuestas para que el proceso pueda continuar, siendo que este tipo de desarrollo convierte al simplex en un método del tipo secuencial.
El procedimiento es repetido sucesivamente, descartándose la peor respuesta. Por lo tanto,como vemos, el objetivo del método Simplex secuencial es forzar al simplex a moverse para la región de respuesta óptima.
Las decisiones requeridas para que eso sea posible constituyen las llamadas "reglas" del procedimiento simplex.REGLAS PARA EL MOVIMIENTO DEL SIMPLEX BÁSICO
Regla nº 1: Después de determinar las respuestas de los n+1 experimentos necesarios para iniciar el proceso, con baseen el conocimiento ya adquirido sobre el sistema, se debe clasificarlas en mejor [B (the Best)], peor [W (the Worst)] y resultados intermediarios [N (Next to worst)], según el objetivo de la optimización.
Regla nº 2: El simplex es movido para un simplex adyacente, el cuál es determinado descartando la respuesta menos deseada. El vértice correspondiente a esta respuesta es sustituido por un nuevovértice, generado por su reflexión a través del centroide de la hiperfase de los vértices restantes.
Matematicamente, sí los vértices de un simplex k-dimensional son representados por coordenadas vectoriales P1, P2, ...., Pj, ....Pk, .... Pk+1, la eliminación de la respuesta no deseada Pj resulta en la hiperfase formada por P1, P2, ...., Pj-1, Pj+1, ....Pk, .... Pk+1 con el centroide definidopor:
Pc = 1/k (P1 + P2 + .... + Pj-1 + Pj+1 + .... + Pk + Pk+1)
Pc = centroide de la hiperfase K = número de dimensiones del simplexPj = vértice correspondiente a la peor respuesta.
El nuevo simplex es definido por esta fase y un nuevo vértice, P, que corresponde a la reflexión del vértice rechazado Pj, a través de la fase por el centroide Pc.
P = Pc + (Pc - Pj)
Regla nº 3: Sí el...
Los pasos a seguir en el algoritmo del Símplex son:
1. Convertir desigualdades en igualdades, introduciendo para ellovariables de holgura, que serán positivas en restricciones menores o iguales, y negativas en restricciones mayores o iguales.
2. Obtener el programa base: Esta es la pregunta inicial de la cual partimos para determinar la solución. Para encontrar el programa base, tomaremos un vector unitario de cada una de las restricciones del problema, de acuerdo con el siguiente esquema:
2.1. Escogeraquellas variables de holgura con el mismo signo que el término independiente y coeficiente unitario.
2.2. En su defecto, escoger aquellas variables Xi que aparezca en una única restricción, y tenga el mismo signo que el término independiente. Esta variable deberá tener coeficiente unitario.
2.3. En su defecto, introduciremos en aquellas restricciones de las cuales no hemos tocado aún, unvector unitario una variable artificial Kj afectada de un rendimiento –N si estamos maximizando, o de un rendimiento +N si estamos minimizando, y que tendrá un coeficiente unitario.
El método Simplex básicoEl método Simplex, introducido en su forma original por Spendley; Hext y Himsworth, en 1962, no se basa en planeamientos factoriales y por eso requiere pocos experimentos para moverse,desplazándose en la dirección del óptimo. La aplicación del método Simplex en Química Analítica fue efectuada por la primera vez en 1969. El método Simplex original, a lo largo de estos años, há sufrido modificaciones que obligaron a la distinción del mismo dentro de las estrategias de optimización, así el método Simplex original pasó a ser llamado de Método Simplex Básico (MSB).
El procedimiento deoptimización, en el método Simplex, comienza por la elección de la n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta. Este resultado será evaluado contra las demás respuestas para que el proceso pueda continuar, siendo que este tipo de desarrollo convierte al simplex en un método del tipo secuencial.
El procedimiento es repetido sucesivamente, descartándose la peor respuesta. Por lo tanto,como vemos, el objetivo del método Simplex secuencial es forzar al simplex a moverse para la región de respuesta óptima.
Las decisiones requeridas para que eso sea posible constituyen las llamadas "reglas" del procedimiento simplex.REGLAS PARA EL MOVIMIENTO DEL SIMPLEX BÁSICO
Regla nº 1: Después de determinar las respuestas de los n+1 experimentos necesarios para iniciar el proceso, con baseen el conocimiento ya adquirido sobre el sistema, se debe clasificarlas en mejor [B (the Best)], peor [W (the Worst)] y resultados intermediarios [N (Next to worst)], según el objetivo de la optimización.
Regla nº 2: El simplex es movido para un simplex adyacente, el cuál es determinado descartando la respuesta menos deseada. El vértice correspondiente a esta respuesta es sustituido por un nuevovértice, generado por su reflexión a través del centroide de la hiperfase de los vértices restantes.
Matematicamente, sí los vértices de un simplex k-dimensional son representados por coordenadas vectoriales P1, P2, ...., Pj, ....Pk, .... Pk+1, la eliminación de la respuesta no deseada Pj resulta en la hiperfase formada por P1, P2, ...., Pj-1, Pj+1, ....Pk, .... Pk+1 con el centroide definidopor:
Pc = 1/k (P1 + P2 + .... + Pj-1 + Pj+1 + .... + Pk + Pk+1)
Pc = centroide de la hiperfase K = número de dimensiones del simplexPj = vértice correspondiente a la peor respuesta.
El nuevo simplex es definido por esta fase y un nuevo vértice, P, que corresponde a la reflexión del vértice rechazado Pj, a través de la fase por el centroide Pc.
P = Pc + (Pc - Pj)
Regla nº 3: Sí el...
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