Metodo

INTRODUCCION:

Las matemáticas en la actualidad siguen siendo una materia importante para dar
solución a los problemas, que se pueden presentar día a día, por ello considero que es
necesario entenderla y aplicarla para desarrollar diferentes procesos, el método de
GAUSS- JORDAN sirve para resolver ecuaciones lineales.

Normalmente estos temas tienen procedimientos largos y por loscuales son ideales
para programar en una computadora y no solamente para hacerlos de forma escrita.

COMPOSICION:

METODO DE GAUSS-JORDAN
Este método es llamado así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan , estos son algoritmos de algebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales encontrando matrices e inversas, es decir un sistema de ecuaciones seresuelve mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior al aplicar dicho proceso la matriz resultante se le conoce como FORMA ESCALONADA, es decir, en las filas posteriores a una fila cuyos elementos todos son ceros, tienen todos sus elementos igual a cero y el numero de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula esestrictamente menor que en la siguiente.

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener solo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta se procede por sustitución regresiva hasta obtener el valor de todas las variables. De esta manera el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangularsiendo esta un planteamiento de igualdad en la cual se pueden incluir una o mas variables y que no contienen productos entre las variables esto es una ecuación que contiene solo sumas y restas de una variable teniendo como característica que en el plano cartesiano representan rectas.

TEOREMA.- dada una matriz A ∈ Rm×n existen matrices F y U. Tales que FA = U siendo U una matriz escalonada.Eliminación Gauss-Jordan:
1. Se divide la primera ecuación para hacer el coeficiente de x 1en ella igual a 1.
2. Se eliminan los términos en x1 de la segunda y tercera ecuación. Esto es, los coeficientes de estos términos se hacen cero multiplicando la primera ecuación por los números adecuados y sumándola a la segunda y tercera ecuación respectivamente.
3. Se divide la segunda ecuación parahacer el coeficiente de x2 igual a 1 y después se usa la segunda ecuación para eliminar los términos en x2 de la primera y tercera ecuación.
4. Se divide la tercera ecuación para hacer el coeficiente de x3 igual a 1 y después se usa esta tercera ecuación para eliminar los términos en x3 de la primera y segunda ecuación.

EJEMPLO:

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando estemétodo, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando alas distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad,dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
* d1 = x
* d2 = y
* d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:...