Metodologia de superficies de respuesta

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CAPITULO 2
METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTA

En este capítulo hablaremos de qué es la Metodología de Superficies de Respuesta,
su representación gráfica, el procedimiento a seguir hasta encontrar un óptimo y los diseños
experimentales que pueden utilizar.

Para el desarrollo del capítulo fueron de gran utilidad Cornell [12] (1990) y
Montgomery [6] (1991), de los cuales setomó la teoría y fórmulas que se presentan a
continuación.

2.1 Definición.
La Metodología de Superficies de Respuesta es un conjunto de técnicas
matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una
variable de interés es influenciada por otras. El objetivo es optimizar la variable de interés.
Esto se logra al determinar las condiciones óptimas deoperación del sistema.

2.2 Terminología.
A continuación se presenta la terminología que se utilizará a lo largo del capítulo.

2.2.1 Factores.
Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta. Estos
pueden ser cuantitativos o cualitativos.

Capítulo 2 Metodología de Superficies de Respuesta38
2.2.2 Respuesta.
Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles de los
factores. El interés principal es optimizar dicho valor.

2.2.3 Función de respuesta.
Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2, ... xk de k
factores, x1, x2,... xk, estamos diciendo que existe una función matemática de x1, x2, ... xk
cuyo valorpara una combinación dada de los niveles de los factores corresponde a Y, esto
es Y=f(x1, x2, ... xk.).

2.2.4 Función de respuesta predicha.
La función de respuesta se puede representar con una ecuación polinomial. El éxito
en una investigación de una superficie de respuesta depende de que la respuesta se pueda
ajustar a un polinomio de primer o segundo grado.

Supongamos que lafunción de respuesta para los niveles de dos factores se puede
expresar utilizando un polinomio de primer grado:
x
Y b
b
b +
+
=
0 x
2
2
1
1

donde b0 , b1 , b2 son los coeficientes de regresión a estimar, x1 y x2 representan los niveles de
x1 y x2 respectivamente. Suponiendo que se recolectan N 3 valores de respuesta (Y), con
los estimadores b0, b1 y b2 se obtienen b0,b1 y b2 respectivamente. Al remplazar los
coeficientes de regresión por sus estimadores obtenemos:

[pic]
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ˆ x
b
x
b
b
Y +
+
=
2
2
1
1
0

donde Yˆ denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2.

2.2.5 Superficie de respuesta
Larelación Y=f(x1, x2,... xk.) entre Y y los niveles de los k factores x1, x2,... xk
representa una superficie. Con k factores la superficie está en k+1 dimensiones. Por
ejemplo cuando se tiene Y=f(x1.) la superficie esta en dos dimensiones como se muestra en
la figura 2.1 (Cornell [12] (1990)), mientras que si tenemos Y=f(x1, x2.) la superficie está en
tres dimensiones, esto seobserva en la figura 2.2 (Cornell [12] (1990)).
Figura 2.1 Superficie de respuesta en dos dimensiones

2.2.6 Gráfica de contornos.
La gráfica de contornos facilita la visualización de la forma de una superficie de
respuesta en tres dimensiones. En ésta las curvas de los valores iguales de respuesta se
grafican en un plano donde los ejes coordenados representan los niveles de los factores.Cada curva representa un valor específico de la altura de la superficie, es decir un valor

[pic]
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específico de Yˆ . Esto se muestra en la figura 2.3 (Cornell [12] 1990). Esta gráfica nos
ayuda a enfocar nuestra atención en los niveles de los...