METODOS DE INTEGRACION
Páginas: 7 (1531 palabras)
Publicado: 16 de octubre de 2013
INTEGRALES DE PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS
Este tipo de método aplica a las integrales cuyas funciones son trigonométricas, y para efectuarlo hay que tomar en cuenta las siguientes reglas o casos que podían presentarse en los productos:
1) Cuando m y n son pares: Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad.
Ejemplo:2) Cuando m y n son impares: Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:
Ejemplo:
3) Cuando m es par y n es impar: El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.
Ejemplo:También se puede hacer por el cambio de variable
t = sen x o t = cos x
POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyasintegrales indefinidas son funciones trigonométricas. Al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica.
En este método en particular se pueden dar tres casos:
Primer caso: Si en el integrando aparece un radical de la forma tomamos el cambio de Variable.
Ejemplo: Encuentre el área del círculo de radio 2, cuyo centro en le origen esy su grafica es:
Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos al intervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el área deseada.
La función de la figura se obtuvo despejando a y en términos dex, en la ecuación de la circunferencia:
Primeramente se integra
En esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico
Del cambio de variable x = 2senobtenemos que sen= x/2, es decir, = arcsen(x/2). Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo:
2 XAsí pues la integral resuelta en términos de la variable , la expresamos en términos de la variable original, x.
Segundo Caso: Si en el integrando aparece un radical de la forma tomamos el cambio de variable.
Ejemplo:Encuentre
Se realiza el cambio de variable:
Se sustituye en la integral original y se obtiene:
Del cambio de variable x se obtiene , dando como resultado , lo que permite construir el triangulo
XY a partir de ahí se calcula y , que al ser sustituidas en la integral se obtiene:
Tercer caso: Si el integrado aparece en la forma de radical tomamos el cambio de variable x = a sec con a > 0
En este tipo de radicales la variación de x es en (-, -a) ∪(a,), razón porla cual se toma x = asec, la cual tiene esta misma variación en (0, /2) ∪ ( /2, ), justamente donde la función secante tiene inversa.
En este tercer caso la expresión del radical en términos de será
Solamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo que no podemos quitar impunemente el valor absoluto.
SUMA DE RIEMANN
Es aquella...
Este tipo de método aplica a las integrales cuyas funciones son trigonométricas, y para efectuarlo hay que tomar en cuenta las siguientes reglas o casos que podían presentarse en los productos:
1) Cuando m y n son pares: Se aplica el seno y coseno del ángulo mitad.
Ejemplo:2) Cuando m y n son impares: Se relacionan el seno y el coseno mediante la fórmula:
Ejemplo:
3) Cuando m es par y n es impar: El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.
Ejemplo:También se puede hacer por el cambio de variable
t = sen x o t = cos x
POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyasintegrales indefinidas son funciones trigonométricas. Al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica.
En este método en particular se pueden dar tres casos:
Primer caso: Si en el integrando aparece un radical de la forma tomamos el cambio de Variable.
Ejemplo: Encuentre el área del círculo de radio 2, cuyo centro en le origen esy su grafica es:
Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos al intervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el área deseada.
La función de la figura se obtuvo despejando a y en términos dex, en la ecuación de la circunferencia:
Primeramente se integra
En esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico
Del cambio de variable x = 2senobtenemos que sen= x/2, es decir, = arcsen(x/2). Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo:
2 XAsí pues la integral resuelta en términos de la variable , la expresamos en términos de la variable original, x.
Segundo Caso: Si en el integrando aparece un radical de la forma tomamos el cambio de variable.
Ejemplo:Encuentre
Se realiza el cambio de variable:
Se sustituye en la integral original y se obtiene:
Del cambio de variable x se obtiene , dando como resultado , lo que permite construir el triangulo
XY a partir de ahí se calcula y , que al ser sustituidas en la integral se obtiene:
Tercer caso: Si el integrado aparece en la forma de radical tomamos el cambio de variable x = a sec con a > 0
En este tipo de radicales la variación de x es en (-, -a) ∪(a,), razón porla cual se toma x = asec, la cual tiene esta misma variación en (0, /2) ∪ ( /2, ), justamente donde la función secante tiene inversa.
En este tercer caso la expresión del radical en términos de será
Solamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo que no podemos quitar impunemente el valor absoluto.
SUMA DE RIEMANN
Es aquella...
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