Metodos De Integracion

METODOS DE INTEGRACION

En la lista de integrales inmediatas presentada anteriormente, puede que no esté una que tengamos por resolver, para ello existen varios métodos de integración que veremos a continuación. Deberemos hacer para ello algunas transformaciones en la integral inicial a resolver hasta llegar a una integral cuyo resultado sea conocido o dicho de otra manera sea unaintegral directa. Esos procesos que nos facilitan estas transformaciones se llaman Métodos de Integración.-

Método de Integración por Sustitución:


Hay ocasiones en que sucede que la integral de una función no se puede resolver en forma inmediata. Para hacerlo podemos realizar una sustitución convenientemente elegida con el fin de poder transformar la integral planteada en una integraldirecta. La habilidad para realizar las mencionadas sustituciones no tienen una regla determinada y solo se adquiere con la práctica.
Este método al igual que la regla de la cadena para derivadas se refieren a funciones compuestas, y lo podemos sustentar en lo siguiente:


Sea: [pic] una función derivable y supongamos que [pic]es una antiderivada de [pic]; y sea [pic], entonces[pic]



Ejemplo 1:

Calcular: [pic] adoptamos en este caso: [pic] reemplazamos estos valores adoptados en la integral original y tendremos:

[pic] luego siempre debemos regresar a la variable original:

[pic]




Ejemplo 2:

Calcular: [pic] Adoptamos: [pic] reemplazamos en la integral original:

[pic] regresando a la variable original:

[pic]Ejemplo 3:

Calcular: [pic] Adoptamos: [pic] Reemplazamos en la integral original:
[pic] retornamos a la variable original:

[pic]

Ejemplo 4:

Calcular: [pic] Adoptamos: [pic] Reemplazamos en la integral original:
[pic] retornamos a la variable original
[pic]



Método de Integración por Partes:

Si observamos los ejemplos vistosanteriormente por el método de sustitución, podemos ver que el integrando está formado en todos los casos por el producto de dos funciones.-
Pero, no hay una fórmula para determinar la primitiva del producto de dos funciones, ya que la derivada de un producto no es el producto de las derivadas, por lo tanto en los ejercicios anteriores en primer lugar tuvimos que encontrar si uno de los factoresrespondía a una función compuesta y el otro a la derivada de la función anterior.-
En el caso de que no se cumplan las condiciones anteriores y no se puede por lo tanto recurrir a la regla de la cadena, deberemos tener en cuanta si una de las funciones es integrable en forma inmediata, en ese caso se recurre al método de Integración por partes, que se basa en el uso del cálculo inverso al dela derivada de un producto de dos factores.-
A continuación vamos a deducir una expresión de cálculo para el método.-

Sean [pic] en el caso del producto de estas dos funciones tendremos la siguiente derivada:

[pic]
si posteriormente integramos ambos miembros:

[pic]

al integrar debemos tener en cuanta que:
[pic] [pic]
Remplazando:
[pic]
Luego podemos expresar:
[pic]escrito en forma mas simplificada tendremos:

[pic]

Esta será la expresión a usar de ahora en mas para resolver las integrales por este método.-

Ejemplo 1:


Calcular:
[pic] Adoptamos: [pic]



[pic]


[pic]
[pic]



Ejemplo 2:

Calcular: [pic] Adoptamos: [pic]

[pic] Por lo tanto: [pic]



Ejemplo 3:Calcular: [pic] Adoptamos: [pic]
[pic] Por lo tanto: [pic]

En este método se puede dar el caso de tener que aplicarlo dos o mas veces hasta llegara resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa.
Veremos algunos casos...