metodos de investigacion

Capítulo 1

Lógica matemática
1.1.

Formas proposicionales

La lógica matemática se ocupa del análisis de las proposiciones y demostraciones del razonamiento lógico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusión deductiva,
desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribución esencial al desarrollo del pensamiento
científico y creador. Esto se manifiesta,por ejemplo, en la correcta comprensión de las estructuras
lógicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenómenos
lógicos, en la aplicación de las leyes y reglas lógicas y en la pretensión de claridad, sencillez y
economía en la expresión lingüística.
Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los objetos,
lasimágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y combinarlos entre
sí.
Definición 1.1
Constante
Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija.
Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una
tarea, siempre la misma significación.
Definición 1.2
Variable
Una variable es un signo querepresenta cualquier elemento de un dominio básico previamente
establecido.
Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo de cualquier elemento del
dominio básico. Entonces se habla de la sustitución de la variable, o de la interpretación de la
variable.
Definición 1.3
Término
Por término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los signos deoperación y los signos técnicos.
Los términos son, por tanto, las denominaciones de los objetos matemáticos o las combinaciones de signos donde se presentan variables, constantes y signos de operaciones, y que mediante la
interpretación de las variables se omiten en las designaciones de los objetos matemáticos. El objeto matemático, identificado como un término, y en cuya denominación se omiteeste calificativo
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después de la interpretación de las variables, se conoce como valor del término.
Las proposiciones son estructuras lingüísticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. La
lógica clásica, a través de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el contenido de verdad de una proposición. El principio de labivalencia expresa: Toda proposición o es
falsa o es verdadera.
De este principio se pueden deducir dos teoremas.
1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa:
Toda proposición es falsa o verdadera.
2. El teorema de la contradicción excluida, expresa:
Ninguna proposición es falsa y verdadera al mismo tiempo.
En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, consideradosen conjunto, expresan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede proceder
a la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibilidad excluida y del principio de la contradicción excluida.
A cada proposición se le hace corresponder un valor de verdad, o falso F o verdadero V. Es por
esta razón que tambiénse habla de una lógica bivalente. La asignación de los valores de verdad F o
V de una proposición, no es tan sencillo de determinar. Aunque en el principio de la bivalencia se
expresa claramente que una proposición es falsa o verdadera, no se puede decir inmediatamente si
cada proposición es falsa o verdadera. En matemáticas existen actualmente muchas proposiciones
que hasta el momento no hanpodido ser demostradas, concebida, la demostración, como una
aseveración de la verdad, a continuación se dan dos ejemplos de este tipo de proposiciones.
Ejemplo 1.1
La proposición: ¨Todo número par que sea mayor que 4, se puede representar
como la suma de dos números primos, excepto el 2¨, existe desde el año 1742. Hasta el momento
no se ha podido demostrar si es una proposición falsa o...