Metodos de la falsa regla

MÉTODO DE LA REGLA FALSA 
Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremosnuevamente una gráfica como la anterior, 

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio delintervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferenciacon el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función que es contínua en el intervalo y además, y tienensignos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos , . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
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Por lo tanto la ecuación de la recta es:
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Paraobtener el cruce con el eje , hacemos :
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Multiplicando por nos da:
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Finalmente, de aquí despejamos :
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Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio delmétodo de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea contínua,
i) i) Encontrar valores iníciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,| |
ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
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iii) iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
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En este caso, tenemosque y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo .
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En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signosopuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .
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En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo,...