Metodos De Minimos Cuadrados

Métodos de mínimos cuadrados.

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en

un diagrama de dispersión se conoce como "elmétodo de los mínimos cuadrados". La recta

resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de larecta de ajuste

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría

una suma menor de las desviaciones elevadas alcuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0

(mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

|[pic] |Re emplazando[pic]nos queda |
| |[pic] |

 

Laobtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos Ga la función que se va a minimizar:

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Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienendos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

 

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Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a

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[pic]  Primera ecuación normal

 

Derivamos parcialmente la ecuación respectode b

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[pic]  Segunda ecuación normal

 

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante