Metodo de minimos cuadrados


Métodos de mínimos al cuadrado
El método de mínimos cuadrados sirve para interpolar valores, dicho en otras palabras, se usa para buscar valores desconocidos usando como referencia otras muestrasdel mismo evento. Él método consiste en acercar una línea o una curva, según se escoja, lo más posible a los puntos determinados por la coordenadas (x,f(x)), que normalmente corresponden a muestrasde algún experimento. Cabe aclarar que este método, aunque es sencillo de implantar no es del todo preciso, pero si proporciona una interpolación aceptable. Como se comentó previamente se puede usaruna recta o una curva como base para calcular nuevos valores.
Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cadamedida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, auna distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato enparticular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.

Ajuste por mínimos cuadrados en el caso lineal En el caso más general, unproblema de ajuste se reduce a uno de minimización (del chi2). Sin embargo, cuando λ(x;θ) es una función lineal de los parámetros el problema puede tratarse analíticamente. Se trata del caso:

dondeaj(x) son funciones de x.NB: Requerimos que λ(x;θ) sea lineal en los parámetros, no que las funciones a j(x) sean lineales en x. Por ejemplo:



El valor de la función λ(x;θ) en un punto dado xies:

En este caso, la expresión general:

Reduce a (en notación matricial):
Para encontrar los parámetros minimizamos el chi2

Si ATV-1 A no es singular podemos resolver para los parámetros...