metodos numerico


Regla del trapecio

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes.
Recuérdese que una línea recta se puede representar como



El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los limites a y b:
El resultado de la integración es

Al que se le llama regla trapezoidal.
Geométricamente, la regla trapezoidales equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une a los puntos a y b.
Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos. Enseguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo.A las ecuaciones resultantes se les conoce como formulas de integración de segmento múltiple o formulas de integración compuesta. La siguiente ecuación es la ec. para calcular la integral por el método trapezoidal de segmentos múltiples.


 

Regla 1/3 de Simpson



La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método deSimpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
.

Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomiointerpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada[1]




es equivalente a

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmulacompuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

El máximo error viene dado por la expresión






Método de Runge-Kutta
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto demétodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Descripción
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Loscoeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; esdecir, para , los esquemas son explícitos.

Método de Euler
Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando
paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la
derivada.
Consiste en dividir los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; o sea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interés ....