Metodos numericos newton, lagrange, integracion trapezoidal

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DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Si se considera la función y=f(x) definida en forma tabular, parecida a la presentada en la Tabla 5.1, pero sin que los valores de la variable independiente tengan paso constante, puede escribirse un polinomio de grado n-ésimo que pase por todos los (n+1) puntos definidos de la función tal como:

[pic]

Los coeficientes ai pueden determinarse fácilmente si se utilizanlas diferencias divididas de los valores tabulados.

La diferencia dividida de orden cero se define como:

[pic]

esta diferencia se puede denotar también como yr ó bien fr.

La diferencia de primer orden o diferencia de orden uno es igual a:

[pic]

Las diferencias de orden superior se definen en términos de diferencias de orden inferior, por ejemplo una diferencia de orden n sedefine como:

[pic]

Una vez definidas las diferencias, los coeficientes se determinan como sigue:
[pic]
Por lo tanto si se reemplaza en el polinomio

[pic]

Este polinomio se conoce como polinomio de interpolación con diferencias divididas de
Newton.

Sistema de interpolacion del polinomio de Newton

Si se desea encontrar un valor incluido entre dos valores consecutivos de una funcióntabular puede utilizarse la interpolación de Newton. Para ello se utilizan las diferencias finitas definidas

Dada la función y = f(x), para encontrar un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla mencionada, x k < x< x k+1, se supone que la función f(x) se
aproxima a un polinomio Pn(x) de grado n, que pasa por todos los puntos que definen a la función (puesto que ladiferencia de orden n es aproximadamente constante).

Recordando la definición de diferencias hacia adelante y que las diferencias de orden superior se definen en función de las diferencias de orden inferior pueden calcularse los valores de la variable dependiente y en función de estas diferencias como se indica a continuación:

[pic]
[pic]

En estas expresiones puede verse que aparecen lasprimeras de las distintas diferencias de órdenes sucesivos a partir de y0, afectadas por los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Suponiendo que esto es verdadero para cualquier valor de y, puede establecerse que:

[pic]
Y como: puede escribirse:

[pic]

Esta fórmula es verdadera para todo valor entero positivo dek, se denomina fórmula de interpolación de Newton y es aplicable para cualquier valor de xk correspondiente o no a la tabla. En esta fórmula, yk es un valor aproximado (interpolado) de la función obtenida para x = xk; y0 es el valor inicial de y, el cual se considera inmediato al valor que se trata de interpolar; son las diferencias hacia adelante deórdenes sucesivas correspondientes a y0; y k se determina como sigue:

[pic]

Si se considera el polinomio interpolante de Newton en función de las diferencias divididas, el error para un polinomio de grado n es:

[pic]

El algoritmo utilizando estas diferencias puede escribirse como:

[pic]

EJEMPLO

Si se desea encontrar el valor de la variable independiente para x=6,2 de lafunción
definida por la tabla

[pic]

Se calculan las diferencias hacia adelante:

[pic]

Como puede observarse las diferencias de orden 3 ó terceras diferencias se mantienen constantes, por lo tanto la función puede describirse por un polinomio de tercer grado. Se aplica la fórmula para encontrar el valor deseado. Siendo:

[pic]

[pic]

O bien puede resolverse el problema encontrandoel polinomio de interpolación de Newton, para ello se calculan las diferencias divididas hasta el orden quinto, es decir:

[pic]

El polinomio interpolador es un polinomio de quinto grado:

[pic]

Por lo tanto si x=6,2, se reemplaza en el polinomio de Newton y el valor de la variable dependiente
es: 61,1.

SISTEMA DE INTERPOLACION DE POLINOMIO DE LAGRANGE

Este método se utiliza...
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