Metodos numericos

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS Instituto de Matemáticas

Prueba Parcial 2- BAIN053 Métodos Numéricos

Ejercicio 1 La longitud L de la curva de ecuación y = f(x), x ∈ [a, b], sepuede representar por x2 y2 Por otra parte, la longitud de una elipse de ecuación 2 + 2 = 1 no se puede calcular a b efectivamente por tal fórmula (integral elíptica). Calcule una aproximaciónnumérica de la longitud de la elipse de ecuación x2 + 4y2 = 1, mediante el método de Gauss-Legendre con 4 nodos. x 2, 0 2, 3 2, 6 2, 9 f(x) 0, 42298 0, 34718 0, 25337 0, 15290 x 2, 1 2, 4 2, 7 3, 0 f(x) 0,40051 0, 31729 0, 22008 0, 11963 x 2, 2 2, 5 2, 8 f(x) 0, 37507 0, 28587 0, 18649 L=
b a

1 + (f (x))2 dx.

Ejercicio 2 Considere la tabla de valores de la función f siguiente

Ejercicio 3 Dadala ecuación diferencial de segundo orden

Calcule aproximaciones para la primera y segunda derivadas (cuando corresponda) en los nodos x1 = 2, 1, x6 = 2, 6 y x10 = 3, 0 al orden 1 o al orden 2,según las (mejores) posibilidades. En x6 , la función ¿es creciente, decreciente? ¿convexa, cóncava? d2 y dy +x = sen x dx2 dx y(−1) = 1, y (−1) = 0, x ∈ [−1, 0] y el método de Euler modificado Yk+1 = Yk +hf(xk , Yk ) (predictor) yk+1 = yk + h [f(xk , yk ) + f (xk+1 , Yk+1 )] (corrector) 2 3.1 Escriba explícitamente el método para esta ecuación 3.2 Resuélvala para h = 0, 25.

Gauss-Legendre:Derivadas:

xk Ak xk ±0, 86113631 0, 34785485 ±0, 33998104 fk fk fk+1 − fk fk+1 − fk−1 fk+1 − 2fk + fk−1 h 2h h2 1

Ak 0, 65214515

Resolución Prueba Parcial 2 Bain 053
Resolución Ejercicio 1 Laelipse en cuestión se muestra en la Fig. 1

Figura 1

Derivando implícitamente 2x + 8yy = 0

Luego, la función a integrar es F (x) =
1

=⇒

y =−

x 4y

=⇒

(y )2 =

x2 x2 = 16y2 4(1 − x2)

1 + (y )2 =

1+

Además, como la aproximación numérica de Gaus-Legendre con 4 nodos es debemos calcular los valores de F en esos nodos xk F (xk ) −0, 86113631 1. 310 5 −0.33998104 1. 016...