Metodos numericos

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Introducción

En el siguiente trabajo se abordan los temas correspondientes a la quinta unidad de la asignatura de Métodos Numéricos en los cuales se habla a cerca de la Derivación Numérica y de la Integración Numérica así como algunos de los métodos más utilizados por los Ingenieros en la resolución de algunos problemas de esta índole.
Hayvarias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada,siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. Al igual que en la derivación numérica el error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a lasolución analítica en las primeras cifras decimales.
Se espera que este trabajo sea de mucha ayuda para el lector al momento de consultar alguna duda en relación a estos temas.

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5.1 Derivación Numérica
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizandolos valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrás:

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega lamejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:

Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, porejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.
Fórmulas de tres y cinco puntos
Supongamos que  son  puntos en un intervalo  y que . Si  es el polinomio interpolador deLagrange entonces

 
para alguna . Al derivar esta expresión y evaluar en algún  (de los  puntos ) obtenemos

 
Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de  -puntos para aproximar . Ahora lo que vamos a hacer es, a partir de aquí, obtener fórmulas útiles de tres y cinco puntos.
En lo que sigue vamos a suponer que  los  son igualmente espaciados, es decir suponemos que

Por ejemplo,si  entonces 
Fórmulas de tres puntos
Supongamos que solo tenemos tres datos  igualmente espaciados, es decir, con . Aplicando la fórmula anterior con  tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")

Fórmulas de cinco puntos
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, con , se puede obtener la fórmula de cinco puntos

Fórmula parala segunda derivada
Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la segunda derivada

EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos
 
  |    |
  0.00 |   1.00 |
  0.01 |   1.010050167 |
  0.02 |   1.02020134 |
  0.03 |   1.030454534 |
  0.04 |   1.040810774 |
  0.05 |   1.051271096 |
  0.06 |   1.061836547 |
  0.07 |   1.072508181 |
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