Metodos numericos

Métodos de Newton Raphson
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en unpunto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación dela recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fámula iterativa de Newton-Rapson para calcular la siguiente aproximación:
, si
Note que el método de Newton-Raphsonno trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método noconverge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidospor excelencia.
También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto nointersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hastaque.
Solución
En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el erroraproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual concluímos...