Metodos Numericos

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN
1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones
Los modelos matemáticos son herramientas básicas para solucionar problemas científicos que se presentan en las ciencias naturales y sociales, en el gobierno y en la industria. Típicamente, algunas leyes naturales fundamentales son usadas para derivar una o varias ecuaciones que modelan el problema que se estudia. Con eltratamiento matemático de las ecuaciones, es posible encontrar respuestas a los problemas planteados por los físicos, biólogos, economistas, etc.
Es importante señalar que para resolver un problema formulado matemáticamente, contribuyen muchos especialistas, sobre todo expertos programadores, especialistas en análisis numérico, ecuaciones diferenciales, entre otros.
Para modelar un problemacientífico se hacen muchas simplificaciones, por lo que el modelo matemático que se obtiene no describe exactamente la realidad del problema. Las respuestas que produzca el modelo deben ser verificadas y comparadas con los resultados experimentales.
Los modelos matemáticos dan una buena descripción del problema que se estudia, pero no siempre dan respuestas directas a nuestras preguntas.
Lasaproximaciones o aproximaciones numéricas que se introducen en el modelo matemático, reemplazan el problema matemático por un problema numérico.
Problema numérico: es una descripción clara y sin ambigüedades de las conexiones funcionales entre datos de entrada, es decir variables independientes del problema, y datos de salida, es decir resultados deseados. Datos de entrada y datos de salidaconsisten de un número finito de cantidades reales.
El objetivo del análisis numérico es resolver problemas numéricos complejos utilizando solo operaciones simples de la aritmética, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos de entrada. Los métodos de cálculo se denominan algoritmo.
Un algoritmo para un problema numérico es unadescripción completa de un número finito de operaciones bien definidas, a través de los cuales cada vector de datos de entrada permisible es transformado en un vector de datos de salida.

1.2 Importancia de los métodos numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Sedenomina así al procedimiento que busca resolver un problema complejo por medio de la utilización de una serie de operaciones matemáticas simples. El término complejo no significa en este contexto que el problema sea difícil de resolver sino que requiere de un proceso iterativo muy tedioso porque su solución no se obtiene de manera inmediata. En otras palabras, se trata de encontrar la solución aun problema que no puede resolverse por un método matemático directo, aplicando un número finito de pasos sencillos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operacionesmás simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
* Cálculo de derivadas
* Integrales
* Ecuaciones diferenciales
* Operaciones con matrices
* Interpolaciones
* Ajuste decurvas
* Polinomios

Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc.

1.3 Tipos de errores
1.3.1 Definición de error
Error es la diferencia entre un valor calculado por una fórmula dada y el valor verdadero. Existen varios tipos.
Solo en raras ocasiones los datos...