Metodos numericos

Sebastián Sepúlveda

Métodos Numéricos- Universidad de Antioquia

Introducción: las ecuaciones elípticas se usan comúnmente para caracterizar problemas en estado estacionario con valores en la frontera. La ecuación de Laplace se utiliza para modelar diversos problemas que tienen que ver con el potencial de una variable desconocida. Es simple y relevante en la mayoría de las áreas de laingeniería, en este trabajo usaremos una placa calentada para deducir y resolver esta EDP elíptica. De la misma manera que con la EDP elípticas, las ecuaciones parabólicasn se resuelven sustituyendo las derivadas parciales por diferencias divididas finitas. Sin embargo, a diferencia de las EDP elípticas, debemos considerar cambios tanto en el tiempo como en el espacio tal como se muestra en el punto 3de este trabajo donde aparece la ecuación de calor en una barra, con condición de frontera tipo Dirichlet.

2)

[pic]

Para resolver esta malla y basándonos en los ejemplos dados en el libro Métodos Numéricos para ingenieros, de Chapra y Canale, cuarta edición, necesitamos entender que en los extremos aislados la derivada es cero. Esta conclusión se obtiene directamente de la ecuación [pic](donde [pic]= flujo de calor en la dirección de la dimensión [pic][pic], [pic]= coeficiente de difusividad térmica [pic], [pic]densidad del material [pic], [pic]capacidad calorífica del material [pic] y [pic]temperatura [pic]) ya que aislar una frontera significa que el flujo de calor (y, en consecuencia, el gradiente) debe ser cero.

• Para encontrar las temperaturas en los puntosfaltantes de nuestra malla utilizamos la ecuación siguiente debido a que nuestra malla es cuadrada y [pic]:

[pic] [1]

Esta relación satisface solo los puntos interiores de la placa y se conoce como ecuación laplaciana en diferencias.

NOTA: si no nos hubiesen especificado las condicionesde frontera en los extremos de nuestra placa no podríamos obtener una solución única.

Ahora para encontrar la temperatura en los extremos aislados utilizamos las siguientes ecuaciones debido a que la derivada en estos extremos es cero como fue explicado anteriormente.

[pic] Extremo inferior [2][pic] Extremo izquierdo [3]

Las ecuaciones simultáneas para la distribución de temperaturas de nuestra placa con un extremo inferior y un extremo izquierdo aislados se escribe en forma matricial como:

[pic]

Obsérvese que debido a las derivadas en las condiciones de frontera la matriz aumenta de tamañopara considerar las siete temperaturas desconocidas del extremo inferior e izquierdo de la placa. De estas ecuaciones se obtiene:

[pic]

• Como la distribución de temperatura esta descrita por la ecuación de Laplace, ésta se considera la variable principal en el problema de la placa calentada. En este caso, las variables secundarias también pueden ser importantes.

En una placa calentada,una variable secundaria es el flujo de calor a través de la superficie de la placa. Esta cantidad se calcula a partir de la ley de Fourier. Para obtener los valores del flujo de calor en las dimensiones [pic] y [pic]:

[pic] [4]

[pic][5]

Donde [pic] es el coeficiente de conductividad térmica [pic], parámetro que determina qué tan bien conduce calor el material, [pic]es el flujo de calor en la dirección x [pic], [pic]es el flujo de calor en la dirección y [pic] , y [pic] son en gradiente de x e y respectivamente....