Metodos Numericos

sMétodos Numéricos Curso SAI Tema 1. Teoría de Errores.

Tema 1
1.
1.1. Introducción. En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan unasolución aproximada al problema original. Un método numérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.

Teoría de Errores

1.2.

Aproximación numérica y teoría de errores Debemos conformarnos siempre, en la practica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientes razones:• •

Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno. Por ejemplo, en el caso del tiro parabólico, se suele despreciar la resistencia del aire, sin embargo, esta puede ser importante. Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de medicionesexperimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. Por ejemplo la constante de los gases ideales. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen. Por ejemplo π . Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodosanalíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente. Por ejemplo una ecuación de quinto grado. Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en :

•

• • •

Errores inherentes. Errores de truncamiento. Errores de redondeo.

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1.2.1. Erroresinherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que seobtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como

π

ó

2.

1.2.2. Errores de truncamiento
Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de lasiguiente serie infinita :
∞

ex = 1 + x +

x2 2!

+

x3 3!

+ • • • = ∑ x! n
n

n= 0

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.1.2.3. Errores de redondeo
Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando. Porejemplo al calcular el valor de 1 , tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 3, que maneje nuestro instrumento de calculo. Los errores anteriores también suelen denominarse como las fuentes de error. La magnitud del error generada por alguna o todas las fuentes de error mencionadas anteriormente, se puede cuantificar con ayuda de los siguientes parámetros: • Error. • Error...