Metodos Numericos

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.


TRABAJO GRUPAL EXTERNO 2
BAIN053 Métodos Numéricos para Ingeniera.










Introducción
Enel presente informe analizaremos métodos para resolver ecuaciones diferenciales, que nos darán a conocer que tan eficiente es cada uno de ellos .Y tras el estudio de las soluciones que nos entregaran los programas realizados en matlab y el posterior análisis de los errores de los mismos veremos cuál es el más eficiente.

Problema 1.

Considere el siguiente P.V.I

y'=t-y2y0=1

Con x ∈[0;3]. Resuelva el P.V.I anterior usando los métodos de Euler, Heun y Runge Kutta,

Usando:

1. h = 0.01
2. h = 0. 05
3. h = 0.1

para obtener una aproximación para y(0.5). Compare los resultados desde un punto de vista numérico (precisión, cotas de error, ...etc) entre sí, y además compare con la solución analíticay=3e-t2+t-2.

Solución:

Sabemos que para saber el tamaño delpaso o h se tiene la formula siguiente:

h=b-aN

Donde b es el extremo final del intervalo y a el extremo inicial, N es en número de intervalos lo cual es desconocido pero como h es un valor conocido podemos obtener N despejándolo de la formula anterior así obtenemos.

h=0.01 | h=0.05 | h=0.1 |
N=300 | N=60 | N=30 |

Algunas iteraciones del método de Euler para los diferentes h.
Parah=0.01
tk | yk | y(tk) | error |
0 | 1.000000000 | 2.000000000 | 1.000000000 |
0.01 | 0.995000000 | 0.995037437 | 0.000037437 |
0.02 | 0.990075000 | 0.990149501 | 0.000074501 |
0.03 | 0.985224625 | 0.985335818 | 0.000111193 |
0.04 | 0.980448502 | 0.980596019 | 0.000147517 |
0.05 | 0.975746259 | 0.975929736 | 0.000183477 |
0.06 | 0.971117528 | 0.971336600 | 0.000219072 |
0.07 |0.966561940 | 0.966816248 | 0.000254308 |
0.08 | 0.962079131 | 0.962368317 | 0.000289186 |
0.09 | 0.957668735 | 0.957992445 | 0.00032371 |
0.10 | 0.953330391 | 0.953688273 | 0.000357882 |

Grafica:

Valor aproximado de y(0.5)= 0.834937671

Para h=0.05

tk | yk | y(tk) | error |
0 | 1.000000000 | 2.000000000 | 1.000000000 |
0.05 | 0.975000000 | 0.975929736 | 0.000929736 |
0.1 |0.951875000 | 0.953688273 | 0.001813273 |
0.15 | 0.930578125 | 0.933230459 | 0,002652334 |
0.2 | 0.911063671 | 0.914512254 | 0.003448583 |
0.25 | 0.893287080 | 0.897490707 | 0.004203627 |
0.3 | 0.877204903 | 0.882123929 | 0.004919026 |
0.35 | 0.862774780 | 0.868371062 | 0.005596282 |
0.4 | 0.849955411 | 0.856192259 | 0.006236848 |
0.45 | 0.838706526 | 0.845548656 | 0.00684213 |0.5 | 0.828988863 | 0.836402349 | 0.007413486 |

Grafica:

Valor aproximado de y(0.5)= 0.828988863

Para h=0.1
tk | yk | y(tk) | error |
0 | 1.000000000 | 2.000000000 | 1.000000000 |
0.1 | 0.950000000 | 0.953688273 | 0.003688273 |
0.2 | 0.907500000 | 0.914512254 | 0.007012254 |
0.3 | 0.872125000 | 0.882123929 | 0.009998929 |
0.4 | 0.843518750 | 0.856192259 | 0.012673509 |
0.5 |0.821342812 | 0.836402349 | 0.015059537 |
0.6 | 0.805275672 | 0.822454662 | 0.017178990 |

Grafica:

Valor aproximado de y(0.5)= 0.821342812

Como observamos en las tablas del método de Euler en comparación con los otros métodos existe un mayor error para la aproximación pedida , pero a la vez podemos observar que para este método mientras más pequeño sea el h utilizado más preciso es,pues el error se vuelve más pequeño.

Algoritmo utilizado.

Algunas iteraciones para el método de Heun.
Para h=0.01
tk | yk | y(tk) | error |
0 | 1.000000000 | 2.000000000 | 1.000000000 |
0.01 | 0.995037500 | 0.995037437 | 0.000000063 |
0.02 | 0.990149625 | 0.990149501 | 0.000000124 |
0.03 | 0.985336004 | 0.985335818 | 0.000000189 |
0.04 | 0.980596266 | 0.980596019 | 0.000000247 |...