Metodos numericos

Método de Müller.

 
 
El método de la secante obtiene raíces de una función estimando una proyección de una línea recta en el eje de las x, a través de los valores de la función. El método deMüller, trabaja de manera similar, pero en lugar de hacer la proyección de una recta utilizando dos puntos, requiere de tres puntos para calcular una parábola.
 
Para esto necesitaremos de tres puntos[x0, f(x0)], [x1, f(x1)] y [x2, f(x2)]. La aproximación la podemos escribir como:
 
f2(x) = A(x – x2)2 + B(x – x2) + C
 
Los coeficientes de la parábola los calculamos resolviendo el siguientesistema de ecuaciones.
 
f2(x0) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2) + C
f2(x1) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2) + C
f2(x2) = A(x2 – x2)2 + B(x2 – x2) + C
 
De la última ecuación podemos ver que el calor de C =f2(x2). Sustituyendo los valores de C en las otras dos ecuaciones tenemos
 
f2(x0)- f2(x2) = A(x0 – x2)2 + B(x0 – x2)
f2(x1) - f2(x2) = A(x1 – x2)2 + B(x1 – x2)
 
Si definimos
 
h0 = x1 - x0h1 = x2 – x1
d0 = [f(x1) – f(x0)]/[x1 – x0]
d1 = [f(x2) – f(x1)]/[x2 –x1]
 
Sustituyendo en las ecuaciones tenemos
 
 
-(d0* h0 + d1* h1)= A(h1 + h0 )2 - B(h1 + h0 )
-d1* h1 = A(h1)2 - Bh1
 La solución de este sistema de ecuaciones es:
 
A = (d1 – d0)/(h1 + h0)
B = Ah1 + d1
C = f(x2)
 
Ahora para calcular la raíz del polinomio de segundo grado, podemos aplicar la formula general.Sin embargo, debido al error potencial de redondeo, usaremos una formulación alternativa.

 

[pic]
 
Ejemplo.
 
Use el método de Müller con los valores iniciales de 4.5, 5.5 y 5 paradeterminar la raíz de la ecuación f(x) = x3 – 13x – 12.
 
|x0 |x1 |x2 |f(x0) |f(x1) |f(x2) |x3 |
|5.50000|5.00000 |3.97649 |82.87500 |48.00000 |-0.81633 |4.00105 |
|5.00000 |3.97649 |4.00105 |48.00000 |-0.81633...