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Geof´ ısica Aplicada Parte -01 (Tensores)
Jairo Torres (Docente)
Escuela de Geolog´ ıa Universidad Industrial de Santander

Septiembre de 2011

Jairo Torres

GA

CONTENIDO

1

Tensores Cartesianos Transformaci´n de Coordenadas o Definici´n y Propiedades del Tensor Cartesiano o Tensor Is´tropo o Autovalores y Autovectores de un tensor sim´trico de e segundo orden Se˜al Anal´ n ıticaJairo Torres

GA

1

Tensores Cartesianos Transformaci´n de Coordenadas o Definici´n y Propiedades del Tensor Cartesiano o Tensor Is´tropo o Autovalores y Autovectores de un tensor sim´trico de e segundo orden Se˜al Anal´ n ıtica

Jairo Torres

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TENSORES CARTESIANOS

Jairo Torres

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Tensores Cartesianos
las cantidades f´ ısicas pueden ser representadas matem´ticamentepor tensores, el curso se concentrara en a tensores 3D en el Espacio Euclidiano. Ejemplos t´ ıpicos de tensores son: Temperatura,Densidad- escalares (tensor de orden cero) Desplazamiento,velocidad-vectores (tensores de primer orden) Tensor de Esfuerzo y Deformaci´n (tensores de segundo o orden) Tensor de Par´metros El´sticos (tensores de cuarto orden) a a

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Transformaci´nde Coordenadas o

Para dos puntos arbitrarios A y B con coordenadas [xA , xA , xA ] 1 2 3 y [xB , xB , xB ] respectivamente se define la distancia entre ellos 1 2 3 d(A, B) como: d(A, B) = Σ3 [(xB − xA )(xB − xA )]1/2 . i=1 i i i i (1)

Usando la convenci´n de Einstein (indices repetidos)tenemos: o d(A, B) = [(xB − xA )(xB − xA )]1/2 , i i i i esta funci´n distancia cumple con: o d(A, B) ≥ 0d(A, A) = 0 d(A, B) = d(B, A) d(A, B) ≤ d(A, C) + d(B, C) (Desigualdad Triangular)
Jairo Torres GA

(2)

Si se considera dos sistemas Cartesianos xi y xi como en la figura:

Figura: xi es la ecuaci´n de transformaci´n entre los dos sistemas. o o

donde xoj son las coordenadas del origen del sistema xi en las coordenadas xi y αij son elementos de la matrix transormaci´n. o
Jairo Torres GA Si αij = δij y i = j la transformaci´n de coordenadas o queda: xi = xi − xoi , esta transformaci´n corresponde a la translaci´n paralela de o o un sistema coordenado con respecto al otro si x0i = 0 la transformacion original se transforma en una rotaci´n del sistema primado con respecto al noprimado o esto es: xi = αij xj .

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Dado que los nuevos ejes son tambi´nortogonales entre si, el e producto escalar de dos l´ ıneas de la matriz de rotaci´n ser´ nulo o a si se trata de l´ ıneas diferentes, o unitario si es la misma l´ ınea, Lo anterior significa que la inversa de la matriz de rotaci´n es su transpuesta. o

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Definici´n y Propiedades del Tensor Cartesiano o un tensor de cualquier orden ser´ aqu´l en que sus componentes a e obedecen lasiguiente ley de transformaci´n de coordenadas: o Tp1p2...pk = αp1m1 αp2m2 ...αpkmk Tm1m2...mk . Un caso particular es el caso de un tensor Tij , que cumple la siguiente ley de transformaci´n de coordenadas: o Tij = αim αjn Tmn . (4) (3)

(doble sumatoria sobre m y sobre n, de acuerdo a la convenci´n o de Einstein). Como la matriz de rotaci´n de la transformaci´n inversa es la o o transpuesta, lascomponentes iniciales en funci´n de las nuevas o ser´n: a Tij = αmi αjn Tmn . (5)
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Suma. Con un mismo rango los tensores se pueden sumar o restar: Aij + Bij = Cij . Multiplicaci´n. No requiere que los tensores tengan igual o rango: Aij Bklm = Cijklm . (si todos los indices son diferentes) Aij Bj = Ci . (tensores con indices iguales reduce de rango o contrae) Definici´n de unTensor Sim´trico Tijk = Tjik o e Definici´n de un Tensor Antim´trico Tijk = −Tikj o e

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Tensor Is´tropo o

Tensor de Levi-Civita
ijk ijk ijk

o ijk (tensor is´tropo de tercer orden) = 1 si i, j, k son una permutaci´n par de 1, 2, 3. o = −1 si i, j, k son una permutaci´n impar o = 0 si hay dos indices iguales
ijk ,

Identidades para

probar que:

ijk lmn

=

δil...
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