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Asignatura: Métodos Numéricos
TEMA 8. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

ING. RICARDO RIOS

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Motivación
• Dada una función u que depende de x y de y, laderivada parcial de u con respecto a x en un punto cualquiera (x,y) está definido como

∂u u ( x + ∆x, y ) − u ( x, y ) = lim ∂x ∆x →0 ∆x
• La derivada parcial de ucon respecto de y es
u ( x , y + ∆y ) − u ( x , y ) ∂u = lim ∆y ∂y ∆y →0

• Una función que involucra derivadas parciales de una función desconocida con dos o másvariables independientes, se denomina ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, o EDP
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Motivación
• Ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales

∂ 2u ∂2u + 2 xy 2 + u = 1 2 ∂x ∂y

∂ 3u ∂ 2u + x 2 + 8u = 5 y 2 ∂x ∂y ∂y

∂ u ∂ 3u  2  +6 =x 2  ∂x  ∂x∂y  
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∂ 2u ∂u + xu =x 2 ∂x ∂y

• El orden deuna EDP es el de la derivada más alta • Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas, concoeficientes que dependen sólo de las variables independientes
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Motivación
• Por su amplia aplicación en ingeniería, nos concentramos en la soluciónde ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A 2 +B +C 2 + D = 0 ∂x ∂x∂y ∂y
donde

A, B, y C son funciones de x y y D es unafunción de x, y, u, ∂u/∂x y ∂u/∂y
• Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada (A, B, y C) esta ecuación se puede clasificaren elíptica, parabólica o hiperbólica
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Motivación
•Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden B2-4AC