Metodos

M´todos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales e
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 17 de julio de 2009

´ Indice
3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . 3.4. M´todo Iterativo: Un ejemplo . . . . . e 3.5. Ventajas y Desventajas . . . . . . . . . 3.6. M´todo Iterativo General . .. . . . . e 3.7. Metodo de Jacobi: Idea . . . . . . . . 3.8. Convergencia y convergencia en Jacobi 3.9. Matriz Diagonalmente Dominante . . 3.10. Orden conveniente para Jacobi . . . . 3.11. El M´todo de Gauss-Seidel: Idea . . . e 3.12. M´todo de Gauss-Seidel: Ejemplos . . e 3.13. Costo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 3 3 5 5 5 6 6 7

3.1.Introducci´n o

En esta lectura veremos procedimientos iterativos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El primero de ellos conocido como el procedimiento de Jacobi basado en la idea de punto fijo y un segundo procedimiento conocido como m´todo de Gauss-Seidel el cual es una modificaci´n simple del procedimiento de Jacobi. e o Introduciremos el concepto de matriz diagonalmente dominante el cual serelaciona con la garant´ de converıa gencia en la aplicaci´n de los m´todos vistos. Veremos que en algunos casos es posible replantear el sistema o e para garantizar la convergencia. Asimismo se comentar´ en qu´ situaciones los m´todos iterativos son m´s a e e a convenientes a los m´todos directos. e

3.2.

Objetivos

Ser´ importante que usted a Entienda los conceptos: • m´todo iterativo, e• ecuaci´n de recurrencia, o • convergencia, • matriz diagonalmente dominante En t´rminos cualitativos e • Entienda la diferencia entre un m´todo directo y uno iterativo. e

• Entienda la conveniencia de usar un m´todo iterativo y uno directo. e Entienda y mecanice los procedimientos de • M´todo de Jacobi, y e • M´todo de Gauss-Seidel. e

3.3.

Generalidades

Un m´todo iterativo es unm´todo que progresivamente va calculando aproximaciones a la soluci´n e e o de un problema. En Matem´ticas, en un m´todo iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una a e soluci´n aproximada: se espera que lo obtenido sea una soluci´n m´s aproximada que la inicial. El proceso se o o a repite sobre esta nueva soluci´n hasta que el resultado m´s reciente satisfaga ciertos requisitos. Adiferencia de o a los m´todos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los m´todos iterativos e e se puede suspender el proceso al termino de una iteraci´n y se obtiene una aproximaci´n a la soluci´n. o o o

3.4.

M´todo Iterativo: Un ejemplo e

Considere el problema de encontrar una ra´ a una ecuaci´n cuadr´tica, por ejemplo: ız o a f (x) = x2 − x − 2 = 0 Unm´todo directo para resolverlo es aplicar la f´rmula general e o x= −(−1) ± (−1)2 − 4(1)(−2) 2(1) = −1, 2

Un m´todo iterativo es el m´todo de Newton que consiste en usar la f´rmula de mejora: e e o xi+1 = xi − f (xi ) xi 2 − xi − 2 = xi − f ′ (xi ) 2 xi − 1

Si tomamos como primera aproximaci´n x0 = 3 (para i = 0), tendremos o x1 = x0 − x0 2 − x0 − 2 32 − 3 − 2 =3− ≈ 2.2 2 x0 − 1 2·3−1...