Metodos

MMII_L1_c3: Método de Lagrange.
Guión de la clase:
Esta clase está centrada en plantearse la resolución de las ecuaciones cuasi lineales de primer orden mediante el Método de Lagrange. El método equivale a plantearse directamente la solución cartesiana, y es más rico en interpretaciones geométricas que el de las características, aunque el método de las características da una mejorrepresentación de las curvas características, por lo que concluimos que ambos métodos se complementan. El modelo lineal de la ecuación de conservación vuelve a ser el ejemplo obligado, solo que ahora lo resolvemos con el método de Lagrange (ML). Otros ejemplos con interpretaciones geométricas estimulantes son planteados. El ML también puede ser un camino que nos permita obtener vías cómodas de integración delmodelo. La clase finaliza con el problema inverso, dada la congruencia de curvas cual es la propiedad geométrica que se verifica en su plano tangente. El método de Lagrange para 2 y n variables puede consultarse las referencias básicas de la lección es el Capítulo 5, libro “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional” de L. Elsgoltz, y en el libro “Ecuaciones Diferenciales” de Puig Adam, Escuelade Ingenieros Industriales 1967. Ejercicio propuesto 1: Resolver los problemas de Cauchy siguientes:

xux

( y 1)u y 1 u

0 x

a) u(x,2)=f(x)=x 2 1; b) u( x, x 1)

Ejercicio propuesto 2: Dada la congruencia plano tangente.

(u, y / x) 0 obtener la propiedad de su

Ejercicio propuesto 3: Solución general de: ( y n u n )ux (u n

x n )u y u( x n

yn ) 0

Estas notas son solo unaayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.

Notas de clase: Método de Lagrange con 2vi
Dada la EDP10_CL_2VI de la forma:

a(x,y,u) u x +b(x,y,u) u y =c(x,y,u), (x,y,u) G
donde a, b, c C 1 (G ) , G es un abierto de
3

Elmétodo de Lagrange (ML) se plantea obtener la solución a partir de la forma canónica del sistema de EDO equivalente a la ecuación tipo EDP10_CL_2VI. Ver la ayuda de la clase anterior:

dx a( x, y, u )

dy b( x, y, u )

du c( x, y, u )

El ML resuelve directamente esta forma canónica buscando en el sistema anterior dos integrales primeras independientes. De estas relaciones se obtienen dosintegrales primeras:
1

( x, y, z ) C1 ( x, y, z ) C2

C1 C2

Congruencia curvas

2

si son linealmente independientes, su intersección determina la congruencia de curvas o solución general cartesiana de la ecuación, también llamadas curvas características de la ecuación de partida. La congruencia se puede establecer como una familia monoparamétrica de curvas, estableciendo una dependenciacontinua entre los parámetros C1 y C2:
(C1 , C2 ) 0

que sustituyendo se puede poner como:
(
1

( x, y, z ),

2

( x, y, z ))

0
2
1

, donde

es una función arbitraria de clase C1, que si cumple

2
2

0,

represente una relación funcional válida. Problema de Cauchy (PCH): Si se exige de la familia de superficies arbitrarias anterior aquella que pasa por una curva dada,que denominaremos curva directriz. Suponiendo que la curva directriz viene dada por la intersección de las superficies linealmente independientes, definidas por las funciones siguientes:
1 2

( x, y , z ) ( x, y , z )

0 0

curva directriz

2

El PCH queda definido por la ecuación y esta representación de la condición inicial. La solución del PCH viene dado por el sistema de ecuacionesno lineales formado por estas 4 ecuaciones: 2 de la congruencia de las curvas y 2 de la curva directriz, con 5 incógnitas {x, y, z, C1, C2}, donde buscamos una relación entre C1 y C2. Pudiendo ocurrir tres casos:

(C1 , C2 ) 0 C1 , C2 solución de C1 ,C2

solución del PCH soluciones del PCH solución del PCH

Ej1_c3: Resolver por el ML la ecuación siguiente: cux u y 0
El sistema de EDO...